基于節點失效和需求不確定的彈性供應鏈網絡優化模型與算法

肖建華，劉 俠，尚 帥，陳 萍

（南開大學a.現代物流研究中心；b.商學院；c.中國特色社會主義經濟建設協同創新中心，天津 300071）

0 引言

隨著經濟全球化、信息技術和社會分工的快速發展，供應鏈已逐漸演變成一個由供應商、制造商、分銷商、OEM廠家、物流服務提供商等構成的復雜網絡系統，眾多的參與者及其之間復雜的關系正不斷加劇供應鏈的運營風險。與此同時，傳統的精益化供應鏈管理不斷追求低成本和“零庫存”，使供應鏈不斷“瘦身”，處于一種極度拉伸狀態，一旦發生供應鏈中斷則短時間內難以恢復，造成供應成本急劇增加，降低顧客服務水平，甚至造成品牌受損及較壞社會影響。因此，研究如何構建彈性供應鏈網絡，提高網絡節點失效時供應鏈網絡恢復到正常運作的能力，對有效減少不確定擾動對供應鏈造成的損失和影響具有重要意義。

本文研究在供應網絡中多層級節點失效條件下，如何通過事前措施增強節點彈性能力，提高供應網絡對節點失效的抗干擾能力并最小化成本。并分析彈性系數、需求波動對供應網絡設計、網絡成本的影響，為供應網絡設計者提供決策支持。

1 問題描述與模型建立

1.1 問題描述

本文考慮由I個供應節點，J個分銷中心和K個需求點構成的單產品三級供應鏈網絡。其中，各供應節點及其供應能力已知，決策者需要從有容量限制的候選分銷中心中選擇合適節點與供應節點、需求點共同組成供應網絡。當供應節點、分銷中心的節點失效時，需求點會因為供應中斷產生缺貨損失，同時需求點的不確定性還會對整個供應鏈網絡的穩定性產生全局性影響。因此，供應鏈網絡需要在節點失效的情況下，盡可能滿足客戶需求，同時使網絡的期望總成本最低，即滿足彈性系數約束下的網絡期望總成本最小。

本文對供應網絡中節點失效的不確定性采用情景法描述，通過合理設計供應節點的彈性供應能力及分銷中心的彈性庫存，保證供應鏈網絡在任何節點失效情景下都能具有較強的彈性供應能力，并最小化相關成本。

1.2 符號說明

I：網絡中供應節點的個數；

J：網絡中候選分銷中心的個數；

K：網絡中需求點的個數；

S：情景數；

dij：供應節點i到候選分銷中心j的運輸距離；

d′jk：候選分銷中心j到需求點k的運輸距離；

cij：供應節點i到候選分銷中心j的單位運輸費率；

c′jk：候選分銷中心j到需求點k的單位運輸費率；

cri：供應節點i的單位彈性供應能力成本；

cr′j：候選分銷中心j的單位彈性庫存成本；

Capi：供應節點i的標稱最大供應能力；

Cap′j：候選分銷中心j的標稱最大容量；

fj：選擇分銷中心j的固定成本；

Soc：節點失效等帶來的單位缺貨成本；

ps：情景s發生的概率；

：在情景s下需求點k的需求量；

：若供應節點i在情景s時發生失效，則為1，否則為0；

：若候選分銷中心j在情景s時失效，則為1，否則為0；

R：供應鏈網絡彈性系數，即任何情景下供應鏈網絡至少滿足的供應量與實際需求量的比值；

Xj：若候選分銷中心j被選擇，則為1；反之，則為0；

Ri：供應節點i的彈性供應能力；

R′j：候選分銷中心j的彈性儲備庫存；

：情景s下供應節點i到候選分銷中心j的供應量；

：情景s下候選分銷中心j到需求點k的供應量；

：若情景s下分銷中心j到需求點k的供應量為正，則為1，否則為0。

1.3 模型假設

（1）相同層級只考慮單個節點失效的情況，不同層級節點可能同時實效。

（2）每個需求點只能由一個分銷中心負責配送。

（3）需求點的需求波動服從正態分布，不同情景下需求點k的需求量波動范圍為∈( )μk-3σk，μk+3σk。其中，μk為需求點k的需求均值，σk為需求點k的標準差。

1.4 模型建立

為深入研究彈性系數與需求不確定性對彈性網絡的影響，以及不同選址策略下各供應節點和分銷節點的彈性設計，本文建立了如下混合整數規劃模型：

其中，式（1）為目標函數，表示最小化網絡的期望總成本，包括期望運輸成本、固定成本、彈性成本和缺貨損失成本；式（2）保證任何節點失效情景下供應鏈網絡的供應量與實際需求量的比值不低于供應鏈網絡彈性系數；式（3）保證在任何節點失效情景下任何供應節點的實際供應量不超過其標稱最大供應能力與彈性供應能力之和；式（4）保證在任何節點失效情景下任何分銷中心的實際分銷量不超過其標稱最大分銷量與彈性儲備庫存之和；式（5）保證在任何節點失效情景下任何分銷中心的實際分銷量不超過其供應節點實際供應量與分銷中心彈性儲備庫存之和；式（6）表示在任何情景下對需求點的實際供應量不超過其需求量；式（7）保證若情景s下分銷中心j到需求點k的供應量為正，則為1；式（8）保證每個需求點只能由一個分銷中心負責供貨；式（9）為非負約束；式（10）為決策變量約束。

2 模型求解

考慮節點應急能力的彈性供應鏈網絡設計問題比經典有容量約束固定費用網絡設計問題復雜度更高，屬于NP-Hard問題，精確解將面臨維數災問題，國內外學者多用智能啟發式算法進行求解。本文將采用改進的遺傳算法來求解該問題。

首先利用虛擬節點思想對原問題進行轉化。以圖1為例，虛擬起點到供應節點i線路上的最大容量為供應節點i的最大供應能力及其彈性供應能力之和；供應節點i到候選分銷中心j之間的線路容量等于Capi+Ri與兩者之間的較小值；候選分銷中心j與需求點k之間線路容量等價于兩者之間的較小值；需求點到虛擬終點的線路流量為需求點的需求量。

圖1重構供應網絡結構示意圖

其中，虛擬起點到各供應節點以及各需求點到虛擬終點的單位運輸費用為0；虛擬節點到實體節點、虛擬節點到虛擬節點之間的單位運輸成本遠遠大于實際路線的單位運輸成本，因此在選擇路線時，流量總會避開高成本的線路，只有當大面積節點中斷或需求很大導致無法滿足實際需求才會經過虛擬路線。對重構后的網絡，給定各節點的彈性能力值和選定分銷中心后，問題等價為從虛擬起點到虛擬終點的最小費用最大流問題，可用最短增廣鏈法求解。

考慮模型情景較多，傳統約束處理方法難以處理，本文將約束條件作為一個目標，計算每一個體違反約束的次數。在處理約束時，將約束放在首位，適應度放在第二位，即若兩個體1和個體2，個體2違反約束的次數少于個體1，則個體2優于個體1；當個體1和個體2違反約束的次數相同時，個體1的適應度值比個體2的適應度值高，則個體1優于個體2。該方法能更快篩選出符合條件的個體，進而提高算法運行效率。

已知算法最大迭代次數為ITERMAX，初始種群數量為NIND，情景數為N。本文模型求解算法步驟如下：

步驟0：給定一組彈性系數值與需求波動偏差；

步驟1：根據失效概率依次選定節點失效情景；

步驟2：產生初始種群，將選址方案、各節點彈性儲備值、各節點流量分配同時編碼到同一條染色體，并產生種群數量為NIND的初始種群；

步驟3：利用最短增廣鏈法，計算每條染色體在不同情景時的個體適應度值與違反約束次數，并根據約束優先原則，得到當前最優解X及最優值f(X)；更新當前最優解X*和最優值f(X*)，令X*←X，f(X*)←f(X)；

步驟4：使用輪盤賭注操作，產生與初始種群數目相同的新種群；

步驟5：對新種群進行交叉操作和變異操作；

步驟6：計算當前種群的最優解X和最優值f(X)。若f(X*)＞f(X) ，更新當前最優解X*和最優值f(X*)，即令X*←X，f(X*)←f(X) ；否則，最優解X*和最優值f(X*)不變；

步驟7：重復步驟4至步驟6ITERMAX次；

步驟8：輸出當前最優解X*和最優值f(X*)，解析分銷中心選擇方案、彈性儲備量。

3 算例分析

某連鎖公司有兩個商品供應基地M1和M2，其商品需求分布在L1，L2，L3，L4，L5和L66個區域，且需求均呈正態分布，均值和標準差已知。現該公司擬從候選分銷中心N1，N2，N3，N4，N5中選出3個分銷中心構成三級分銷網絡。考慮產品的特殊性，一旦發生供應中斷將會造成較大損失，單位缺貨成本為80000元/噸，所以公司要求其分銷網絡具有較好的彈性。因此，公司決定在兩供應基地和各分銷中心采取彈性儲備措施，使網絡在滿足彈性系數約束下分銷網絡總成本最小。企業要求供應網路的彈性系數為0.6。已知各供應基地的最大供應量、失效概率、單位彈性供應能力成本如表1所示；各候選分銷中心的最大容量、固定費用、失效概率、單位彈性庫存費用如表2所示。

供應基地到各候選分銷中心的單位運輸費用，候選分銷中心到各個需求地的單位運輸費用，以及各需求點需求均值和標準差如表3和表4所示。

本文用改進遺傳算法對其進行求解，其算法主要參數設置為：種群數量為50，最大迭代次數為300，交叉率為0.8，變異率為0.2，求解結果如表5所示。

表1 各供應基地的最大供應量、失效概率、單位彈性供應能力成本

表2各候選分銷中心的固定費用、最大分銷量、失效概率及單位彈性儲備成本

表3 供應基地到各候選分銷中心的單位運輸費用 （元/噸.公里）

表4候選分銷中心到各個需求地的單位運輸費用及需求點的需求均值及標準差

表5 算例求解結果

3.1 彈性系數與需求波動對選址結果的影響

為了說明彈性系數和需求波動對選址決策的影響，對彈性系數取值分別取R=0.5，0.6，0.7 ；需求波動σ=1，?3，?5，結果如表6所示。

表6 不同彈性系數與需求波動標準差組合下的求解結果

從表6可以看出，隨著供應鏈網絡彈性系數要求的增高，選址決策會發生相應的改變。如當σ=5，R=0.5時，選址結果為{N1，N2，N5}三個易發生中斷的分銷中心；而當σ=5，R=0.7 時，選址結果變成{N1，N4，N5}三個較之不易發生失效中斷的分銷中心。同時，也可以發現當市場的需求波動變大時，供應鏈網絡更傾向于選擇不易發生失效中斷的分銷中心。

通過候選分銷中心的特點，不難發現分銷中心的選址成本越低，其失效概率也越大，這與實際相符。當網絡對彈性要求較低時，會優先選擇固定成本低，所處地理位置比較適合運輸的候選分銷中心作為網絡的分銷中心；但當網絡對彈性系數要求變高后，網絡節點更傾向于選擇失效風險更低的節點作為分銷中心，從而在面臨失效風險時能更有力地降低供應鏈網絡的失效成本；需求波動改變選址結果的本質原因為需求波動的增大會間接提高網絡彈性的要求。以案例中總期望需求值為160噸為例，當彈性系數為0.5時，網絡至少要滿足80噸的需求量。當需求波動偏差為5時，需求量最大值為190噸，此時網絡至少要滿足95噸的需求量，這無疑對網絡彈性提出了更高的要求。

3.2 彈性系數和需求波動對網絡總成本的影響

彈性系數和需求波動不僅會影響網絡結構，還直接影響網絡總成本。從表6第一行結果可以看出，當R=0.5時，隨著σ的取值從1增大到5，網絡總成本也隨之從2892900元遞增到3490200元。類似地，當R=0.6，?0.7時，網絡總成本同樣遵從遞增規律。從列的角度看，當σ分別取值為1,3,5時，隨著R取值增大，網絡總成本也會逐漸增大，如圖2所示。很顯然，網絡彈性系數和需求波動的增高，實質上都是網絡對彈性的要求越來越高。為滿足需求端需求，供應節點層級會被迫增加彈性供應能力，提高彈性投入成本；分銷中心層級則會放棄一些地理位置優越和固定成本較低的候選分銷中心，被迫選擇失效概率更低的候選分銷中心，從而被迫提高網絡的固定選址成本與運輸成本。

圖2不同彈性系數和需求波動下的成本走勢圖

從以上分析可知，彈性系數的增加會使企業在面臨失效風險時更加游刃有余，不會因為過多的缺貨損失導致公司客源的大量缺失以及避免造成嚴重的社會影響，但是網絡的總成本也會相應增加。各個企業可以根據企業商品的性質，以及企業的發展戰略來選擇合適的彈性系數。與此同時，需求波動也會對網絡決策產生重大影響，管理者在進行網絡規劃決策時，需關注需求點的需求波動。

3.3 彈性網絡與傳統網絡的比較

為研究彈性供應鏈網絡和傳統供應鏈網絡在面臨風險時的表現，將兩類網絡置于3種需求波動情景中，結果如表7所示。

表7 兩種網絡在不同需求波動情景下的求解結果

從表7可以看出，在不同需求波動情景下，彈性網絡的總成本優于傳統網絡。以σ=1為例，傳統供應鏈網絡在進行供應鏈網絡設計時不會增加網絡的彈性成本來規避風險，其選址方案對應的候選分銷中心失效概率也大于彈性網絡，盡管其網絡設計的選址成本和運輸配送成本均低于彈性網絡，但一旦發生中斷失效，網絡的運營懲罰成本會大幅升高，從而使網絡的總成本增加。相比之下，彈性網絡在選址過程中不僅將分銷中心的固定成本和配送成本考慮在內，而且加入候選分銷中心節點失效概率的指標進行綜合考量，同時投入一定的彈性成本在供應端的各個節點布置彈性庫存和彈性供應能力，實現網絡懲罰成本和選址成本以及運輸配送成本的平衡，使網絡總成本最低。

4 結束語

針對供應網絡中多層級節點同時失效和需求不確定的風險，本文構建了考慮節點應急能力的彈性三級供應網絡優化模型，確定給定彈性系數下的網絡結構決策和各供應節點和分銷節點的彈性供應能力。針對問題復雜度高的特點，基于改進遺傳算法對模型進行求解。通過算例及靈敏度分析，驗證了本文給出的彈性網絡的有效性，分析了需求波動對網絡結構和成本的影響，為企業彈性供應網絡的規劃決策提供了方法和依據。