PP檢驗對異方差時間序列的偽檢驗

田行宇，李傳金

（1.寧德師范學院 語言與文化學院，福建 寧德 352100；2.福建工程學院 土木工程學院，福州 350118）

0 引言

時間序列分析在經濟學、社會科學、工程應用等領域廣泛應用。進行多變量的回歸分析或自回歸分析，都要求數據滿足平穩性。當時間序列的概率分布不隨時間變化，如變量的均值、方差和協方差不隨時間變化，就可以認為時間序列是（寬）平穩的。

判別時間序列的平穩性包含圖檢驗法和假設檢驗法兩種類型。圖檢驗法細分為時序圖檢驗和自相關函數圖檢驗。最常用的構造統計量進行假設檢驗的方法是單位根檢驗。單位根檢驗包含DF檢驗、ADF檢驗、PP檢驗等一系列方法[1,2]。

單位根檢驗會出現偽檢驗現象。Perron[3]將結構突變引入單位根檢驗，發現采用傳統的ADF檢驗容易將帶有結構突變的趨勢平穩過程誤判為單位根過程，這種現象稱為“Perron”現象。Perron還給出了3類結構突變模型，分別為均值突變、斜率突變、均值與斜率雙突變。欒惠德[4]、胡俊娟[5]、左秀霞[6]、何云強[7]深入研究了單位根檢驗在結構突變的時間序列中的應用。徐炳勝等[8]和吳翔[9]分析了單位根“偽檢驗”的不同類型。郭洪偉[10]指出一些文獻中單位根檢驗存在偽檢驗。張建華[11]指出當時間序列結構突變時,不考慮這種結構突變而進行常規的單位根檢驗將導致錯誤結論，并且隨著結構變化程度的增大,“偽檢驗”的可能性也會增大。劉田[12，13]指出ADF和PP檢驗對無趨勢或線性趨勢平穩過程可給出正確的結果，但非線性過程基本失效。

許多時間序列的方差隨時間變化，屬于異方差時間序列。已有的研究表明，ADF檢驗要求時間序列滿足方差齊性，對異方差時間序列判別效果不佳[1,10]。對于PP檢驗是否能正確判別異方差時間序列的平穩性，王艷[1]認為PP檢驗適用于異方差時間序列的平穩性檢驗，呂光明[14]認為PP檢驗可以校正異方差對檢驗結論的影響。本文通過構造異方差時間序列驗證PP檢驗能否正確判別異方差時間序列的平穩性。

1 PP檢驗

PP檢驗通過構造統計量Z()τ進行統計檢驗，具體方法如下[1,2]：

對時間序列Xt，考慮如下形式的自回歸序列方程：

其中εt為隨機干擾項。

零假設和備擇假設分別為：H0:δ=0，（Xt非平穩）；H1:δ＜0（Xt平穩）。接受零假設，認為序列Xt非平穩；反之，拒絕零假設，認為序列Xt顯著平穩。

Phillips和Perron對DF統計量τ進行了非參數修正，修正后的統計量：

其中：

修正后的統計量Z(τ)和DF統計量τ具有相同的極限分布，Z(τ)可以使用DF統計量τ的臨界值表來進行判斷。對比Z(τ)與臨界值表中給定顯著性水平α對應的臨界值：當Z(τ)≤臨界值，則拒絕零假設，Xt是非平穩的；當Z(τ)＞臨界值，接受原假設，Xt是平穩的。上文只討論了不含趨勢項和常數項的情況。PP檢驗也可以檢驗包含常數項或同時包含常數項和趨勢項的情況。

2 時間序列及平穩性檢驗

2.1 時間序列

按照均值方差都不變、均值突變、方差突變、方差遞增、方差遞減五種情況設計生成X1、X2、X3、X4、X5五個時間序列，每個序列的樣本長n都為1000，X3、X4、X5屬于異方差時間序列。序列X1、X2和X3分成n1(1～500)和n2(501～1000)前后兩部分數據，每一部分都是高斯白噪聲序列（符合平穩過程）。序列X1前后兩部分數據的均值和方差相同，序列X2和X3前后兩部分的均值μ和方差σ有變化，具體值見表1所示。方差遞增序列X4和方差遞減序列X5由序列X1構造而成，其中X4=X1*t/200，隨t的增大方差增大，X5=X1*(1000-t)/200，隨t的增大方差減小。

表1 X1、X2和X3的均值和方差

2.2 平穩性檢驗

（1）時序圖法

圖1中繪制了五個序列的時序圖。從圖1可知，從n1(1～500)到n2(501～1000)，X1的均值和方差無明顯變化，X2的均值發生突變，X3的方差發生突變，X4的方差遞增，X5的方差遞減。根據平穩性條件中均值、方差為常數的性質，當數據是平穩時圖形始終在一個常數值附近隨機波動，且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征。若數據是不平穩時，往往表現出在不同的時間段具有不同的均值。由此可判斷：X1是平穩的，X2、X3、X4、X5是非平穩的。

圖1時序圖

（2）自相關圖

圖2給出了五個序列的自相關圖，其中橫坐標為延遲期數k，縱坐標為自相關系數rk。由圖2可知，X1、X3、X4和X5的rk較快衰減向零，X2的rk值從1緩慢衰減到0.7左右。根據自相關圖平穩性判別方法，隨著k逐漸增大，對于平穩數據，rk較快衰減向零，對于非平穩數據，rk衰減向零的速度較緩慢。由此判別：得出 X1、X3、X4、X5是平穩的，X2是非平穩的。

圖2自相關圖

（3）PP檢驗

使用MATLAB編寫PP檢驗程序測試序列的平穩性。顯著水平α=0.05。根據劉田[12，13]給出的公式4( )

2.3 結果

表2給出了時序圖法、自關圖法和PP檢驗平穩性判別結果。

表2 時序圖法、自關圖法和PP檢驗結果

從表2可知，對于X1，均值和方差都沒有變化的數據，三種方法都能判別為平穩信號。

對于X2，均值有明顯變化，方差沒有變化，時序圖和自相關圖都判別為非平穩信號，而PP檢驗判別為平穩信號。顯然PP檢驗出現了誤判，說明PP檢驗不能有效判別數據均值改變的情況。

對于X3、X4和X5，均值沒有變化，方差有明顯改變，時序圖判斷為非平穩信號，而自相關圖和PP檢驗都判別為平穩信號。顯然自相關圖和PP檢驗出現了誤判，說明自相圖法和PP檢驗都不能有效判別異方差序列的平穩性。

綜合以上分析，時序圖法可以準確判別五個序列的平穩性，自相關圖法不能準確判斷X3、X4和X5序列的平穩性，PP 檢驗不能準確判別 X2、X3、X4和 X5序列的平穩性。n10014確定滯后項為7。為了不失一般性，1～20范圍內滯后項和三個模型都檢驗。檢驗結果所有的P值均小于0.001，判別結果拒絕存在單位根的零假設，判別序列X1、X2、X3、X4和X5都是平穩的。

3 結論

（1）平穩性判別需要結合時序圖和自相關圖法進行。單純使用PP檢驗等假設統計檢驗方法，不結合時序圖和自相關圖法，容易出現誤判。但時序圖和自相關圖法都要人工判別圖形的特征，判別結果帶有較強的主觀性，準確性有時難以保證[1]。

（2）對于異方差時間序列，PP檢驗失效。一般認為，ADF檢驗是在方差齊性情況下應用，PP檢驗能夠應用于異方差情況[14]。但通過本文的研究，PP檢驗對于異方差時間序列誤判為平穩序列，檢驗失效，需慎用。

（3）相關研究已指出，對于時間序列出現均值改變，斜率改變，或兩者都改變等結構突變情況，單位根檢驗準確性降低[4,11-13]。當時間序列的方差發生突變時有何影響，鮮有文獻報道。建議今后研究時間序列平穩性時，可將方差突變列入結構突變的范疇。