NSD序列的Chover型重對數(shù)律

黃 輝, 陸冬梅, 胡 濤

(1. 長春理工大學(xué) 光電信息學(xué)院, 長春 130022; 2. 首都師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 北京 100048)

1 引言與主要結(jié)果

定義1[1]如果對任意的x=(x1,…,xn)∈n,y=(y1,…,yn)∈n, 有

φ(x∨y)+φ(x∧y)≥φ(x)+φ(y),

定義2[1]對于隨機向量X=(X1,X2,…,Xn), 如果滿足

(1)

研究表明， 由NSD推不出NA(negativelyassociated)[1], 但由NA可以推出NSD[2], 即NSD序列是包含獨立和NA序列在內(nèi)的一類更廣泛的相依序列. 目前， 關(guān)于NSD序列的研究已有很多成果[3-9].

定義3[10]對于隨機變量X, 如果

(2)

則稱X為α>0重尾的. 其中A(x)是指數(shù)為α的正則變化函數(shù), 即

?t>0.

令B(x)=inf{y:A(y)≥x}為A(x)的廣義逆函數(shù), 則B(x)是指數(shù)為1/α的正則變化函數(shù). 易推得式(2)等價于

(3)

顯然X為α重尾的比X是特征指數(shù)為α的隨機變量條件更廣泛. 下面假設(shè)X為α重尾的,B(x)定義如上.

目前, 關(guān)于Chover重對數(shù)律的研究已有很多結(jié)果[10-18], 但NSD序列的Chover重對數(shù)律研究尚未見文獻(xiàn)報道, 本文討論NSD序列的Chover重對數(shù)律, 主要結(jié)果如下.

注1定理2～定理4不僅將文獻(xiàn)[15]中結(jié)論推廣到NSD序列的情形, 且定理2～定理4所得的結(jié)論更具普適性.

注2定理3即為NSD序列情形下的Chover重對數(shù)律, 將文獻(xiàn)[10]中定理1的部分結(jié)果推到NSD序列的情形.

2 主要結(jié)果的證明

引理1[10]假設(shè)X為α>0重尾的,B(x)如上定義, 則對于任意的x>0, 當(dāng)p>α?xí)r,

當(dāng)0

其中c1>0,c2>0均不依賴于x.

引理2[1]如果(X1,X2,…,Xn)是NSD的,g1,g2,…,gn均為非降函數(shù), 則(g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn))也是NSD的.

引理4[4]設(shè){Xi,i≥1}是NSD序列, 則存在正常數(shù)C, 使得對任意的≥0,n≥1, 有

2.1 定理2的證明

采取循環(huán)證法1)?2), 2)?3), 3)?1). 記an=B(nf(n)).

Ⅰ) 證明1)?2). 首先考慮0<α< 1, 由Chebyshev不等式、 式(3)及引理1可得

其次考慮α≥1. ?i≥1, 令

由EXi=0并結(jié)合引理1, 可得

從而當(dāng)n充分大時, 對?ε>0, 有

中國傳統(tǒng)道家思想強調(diào)無為而治，為數(shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)提供了哲學(xué)基礎(chǔ)，留白時看似無為卻有所為．美學(xué)中常追求以虛襯實、虛實相生的境界，則為數(shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)提供了美學(xué)基礎(chǔ)．除此之外，“等待時間”理論和參與者知識觀也為數(shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)提供了豐富的理論基礎(chǔ)．

當(dāng)α≥2時, 結(jié)合Jensen不等式, 類似上述推導(dǎo)可知

其中q>α≥2. 結(jié)合式(4)～(6)可知

1)?2)證畢.

Ⅱ) 2)?3). 因為任取正整數(shù)n, 總存在非負(fù)整數(shù)k, 使得2k≤n<2k+1, 且存在t∈[0,1), 使得n=2k+t, 則由2)可得

進(jìn)一步有

注意到B(x)是指數(shù)為1/α的正則變化函數(shù), 因此

2)?3)證畢.

Ⅲ) 3)?1). 由3)及an=B(nf(n))、Xn=Sn-Sn-1、f(x)>0在x→∞時是擬增的, 得

Ⅳ) 證明4)?5). 任取正整數(shù)M, 由式(3)知

(7)

這與式(7)矛盾. 因此

從而

注意到B(x)是指數(shù)為1/α的正則變化函數(shù), 于是可知

即5)成立.

這與4)矛盾. 因此

綜上, 定理2證畢.

2.2 定理3的證明

利用定理2和式(3), 類似文獻(xiàn)[12]中定理2的證明可得結(jié)論.

2.3 定理4的證明