基于像素解法的漸開線蝸桿磨削用砂輪廓形計算方法

沈志煌,劉菊東,皮 鈞,許志龍,姜 濤,王舒陽

(1.集美大學機械與能源工程學院,福建廈門361021;2.大唐陜西發電有限公司,陜西西安710000)

蝸桿傳動是一種常見的機械傳動,屬于齒輪傳動的范疇.由于其速比大、結構緊湊、用途廣泛,特別是隨著工程應用的發展和技術的進步,蝸桿的研究受到了廣泛的重視.漸開線蝸桿(記作ZI型蝸桿)是目前應用非常廣泛的一種等升距圓柱蝸桿,其端面截形為漸開線,國內外許多學者在蝸桿的磨削加工方面都有較深入的研究.吳序堂[1]詳細介紹了齒輪嚙合原理,并且推導了磨削過程中砂輪與蝸桿二者空間接觸線的計算公式.Litvin[2]歸納了兩種計算共軛齒廓的方法:解析包絡法和齒廓法線法,給出了刀具回轉面與工件螺旋面接觸條件的詳細推算過程.Spitas等[3]引入了一種把齒輪齒面離散成數段漸開線段的方法來確定共軛齒形,替代了用點對點的分析方法來解決接觸路徑、加工齒條的幾何形狀和磨削用成形刀具計算等問題.然而,傳統的齒輪嚙合原理在計算成形砂輪廓形時雖然精確,但當蝸桿廓形存在有奇異點、過切或是雙包絡的情況發生時在求解砂輪廓形時常會有數值發散的情況發生,會導致計算得到的砂輪廓形出現壞點和數據不均勻現象.許多學者都在尋求一種更簡單、可靠的方法來計算成形砂輪廓形.其中,Wu等[4]提出了一種基于解析包絡的徑向射線法(RRS)來替代共軛原理的計算過程,RRS能夠模擬蝸桿、齒輪的成形磨削過程,并通過計算徑向射線與包絡曲線簇交叉點來實現對仿真后齒廓上各點的提取,但文獻[4]中的RRS需要求解大量的交叉點的值.

為實現蝸桿的高效磨削,也為避免傳統齒輪嚙合理論中復雜的解析包絡過程,本研究提出了一種基于像素解法的蝸桿磨削用成形砂輪廓形計算方法.像素解法的核心思路是用指定顏色點亮蝸桿與成形砂輪之間共軛運動所形成掃掠面在屏幕像素點陣中的最佳逼近像素點,然后通過捕捉指定顏色的臨界像素點所在的坐標值得到成形砂輪廓形.

1 ZI型蝸桿的數學建模

ZI型蝸桿的端面截型是漸開線,如圖1所示,假設漸開線上任意一點的坐標為(x,y,z),則圖1所示的漸開線曲線段AM的方程為:

(1)

圖1 漸開線的參數方程Fig.1 Parametric equation of involute

其中,rb為漸開線基圓半徑,φ為漸開線發生線在基圓上的滾動角.由漸開線函數θK=invαK=tanαK-αK可得φ=θK+αK=tanαK.

2 ZI型蝸桿與成形砂輪的運動關系

在蝸桿數控磨床上加工蝸桿齒面時,砂輪回轉面同蝸桿齒面之間具有一條空間接觸線,當接觸線繞蝸桿軸線zw做與蝸桿齒面相同的螺旋運動時,得到的是蝸桿螺旋齒面.當接觸線繞成形砂輪軸線zg做回轉運動時,得到的是成形砂輪回轉面.如圖2所示,建立Sw為固定在蝸桿上的坐標系,zw軸與蝸桿軸線重合,Sg為固定在成形砂輪上的坐標系,zg軸與成形砂輪軸線重合,蝸桿軸線與成形砂輪軸線之間最短距離為a,夾角為∑.

圖3 蝸桿回轉運動包絡而成的成形砂輪Fig.3 Forming wheel enveloped by rotary motion of worm

圖2 蝸桿與成形砂輪之間的坐標系統Fig.2 Coordinate systems between rotor and forming wheel

根據上述ZI型蝸桿的數學模型可計算得到其參數方程,假設為r0(t)=[x0(t),y0(t)],則ZI型蝸桿的螺旋面方程為:

rw(t,θ)=[xw,yw,zw]=[x0(t)cosθ-

ky0(t)sinθ,kx0(t)sinθ+y0(t)cosθ,pθ].

(2)

其中：k=±1，表示旋向；θ為轉子旋轉角，p為螺旋系數.將蝸桿螺旋面方程從蝸桿坐標系Owxwywzw變換到砂輪坐標系Ogxgygzg中，變換矩陣為

rwg(t,θ)=[xwg,ywg,zwg]=

(3)

在坐標系Ogxgygzg下,令蝸桿螺旋面繞砂輪軸線zg軸作螺旋運動,可得到蝸桿螺旋面形成的一系列曲面簇方程:

rg(t,θ,φ)=[xg,yg,zg]=

(4)

為得到砂輪廓形,令xg=xwgcosφ-kywgsinφ=0,則可確定變量φ與變量t、θ的關系.假設關系式為φ=φ(t,θ),便可確定蝸桿包絡砂輪廓形的曲線簇方程:

r0(t,θ)=rw[t,θ,φ(t,θ)].

(5)

圖3所示的蝸桿繞著砂輪軸線作回轉運動以及通過回轉運動包絡形成的砂輪端面截型圖.

3 像素解法原理

像素解法用指定顏色點亮蝸桿與成形砂輪之間共軛而成的掃掠面在屏幕像素點陣中的最佳逼近像素點，通過調整掃掠面的位姿和放大倍數，捕捉最佳逼近像素點的所在坐標值，進而實現砂輪廓形的計算.其中，最佳逼近像素點為指定顏色與屏幕底色之間顏色區分的邊界像素點.如圖4所示，像素解法的原理可分為以下幾個步驟：

1) 根據上述蝸桿與成形砂輪的運動關系計算蝸桿包絡砂輪的掃掠面(Step 1)；

圖4 像素解法原理Fig.4 Pixel solution principle

2) 對掃掠面進行位姿調整和放大(放大倍數K1),用RGB值為(255,255,0)的黃色點亮屏幕像素點陣中最佳逼近的像素點,其中屏幕底色為RGB值為(0,0,255)的藍色.對屏幕的像素點陣進行初掃描,捕捉起點P0、起點附近點、終點Pe的坐標值,其中P0和Pe由蝸桿型線的外圓點包絡而成,可表征一個完整砂輪廓形的起點和終點(Step 2).

3) 先將屏幕放大K2倍，得到局部掃掠面,再沿砂輪廓形曲線進行平移,最后對每個局部掃掠面進行逐個像素點陣的掃描,捕捉得到點集Pi,0,Pi,1,…,Pi,ti,…,Pi,ni的坐標.利用坐標變換法則將捕捉到的各區間坐標點集轉換到統一的坐標系下,得到能夠完全表征一條完整砂輪廓形的密集數據點集(Step 3).

4) 對所得的密集數據點集進行稀釋、光順處理,得到一條光滑的砂輪廓形(Step 4).

下面分別利用解析包絡法和像素解法來對蝸桿加工用成形砂輪廓形進行計算.在采用像素解法時,選用的屏幕分辨率為1 440×900,放大倍數為K1=50，K2=500.按照上述詳細步驟執行完后采集得到砂輪廓形數據點數18 231個,對數據點集進行稀釋、光順處理,得到光滑的砂輪廓形曲線.將像素解法計算得到的砂輪廓形與解析包絡法計算得到的砂輪廓形對比,結果如圖5所示.

圖5中像素解法與解析包絡法的對比結果顯示,像素解法的計算結果不僅與解析包絡法基本一致,二者所生成的砂輪廓形的廓形誤差(單位：mm)基本在(-0.001,0.001)范圍內,已完全能夠滿足高精度蝸桿的加工要求,而且也解決解析包絡法在計算過程中存在的應用問題.

圖5 像素解法與解析包絡法計算的砂輪廓形對比Fig.5 Comparing of the wheel profile generated by the pixel solution and the analytic envelope method

4 實例驗證

為驗證像素解法的正確性,以某公司某型號ZI型蝸桿的實際磨削進行試驗,實驗中ZI型蝸桿的幾何結構參數如表1所示.利用像素解法計算得到蝸桿磨削用砂輪的三維圖形如圖6所示.

表1 ZI型蝸桿幾何結構參數

圖6 砂輪的三維結構Fig.6 3D structure of forming wheel

通過像素解法計算得到成形砂輪廓形之后,便可進行蝸桿的磨削試驗，測量所得的ZI型蝸桿的齒廓誤差結果如表2所示.測量結果顯示，蝸桿實際加工總誤差為左齒廓3.5 μm、右齒廓4.5 μm,蝸桿精度等級達到4級,表明上述所建立的ZI型蝸桿數學模型、蝸桿磨削用砂輪計算模型、蝸桿磨削用砂輪計算軟件的正確性.

表2 測量的蝸桿齒廓誤差

5 結 論

為精密磨削ZI型蝸桿,提出了一種基于像素解法的蝸桿磨削用成形砂輪廓形計算方法,該方法能夠避免傳統平面嚙合理論中復雜的解析包絡過程.本研究推導了ZI型蝸桿參數化數學模型以及通過蝸桿廓形包絡成形砂輪廓形的數學模型,介紹了像素解法的計算原理,最后通過ZI型蝸桿的虛擬仿真加工與實際加工驗證了像素解法的正確性.實驗結果顯示，蝸桿實際加工總誤差為左齒廓3.5 μm、右齒廓4.5 μm,精度等級達到4級,能夠滿足蝸桿的精密磨削要求,進而驗證了所建立理論的正確性.