確定多面體外接球球心位置的兩種基本方法

彭建開

多面體外接球問題，是全國卷考試命題的熱點，縱觀2010年到2017年這八年的全國卷試題都有考外接球（除2014年只有大綱文科卷考），因此掌握好這類問題的解法，也是高三復習備考中的基本要求.解決這類問題，關鍵是找到球心，而球是均勻的物體，所以幾何體的中心就是球心，從這個角度來說，我們確定球心就是要找到幾何體的中心. 對于規則的幾何體來說，可能找到球心并不難，但對于一些不規則的幾何體，找到球心就不是那么容易了. 本文介紹兩種常見的找外接球的球心的方法.

方法一：補形確定球心

在多面體外接球問題中，直棱柱和長方體（包括正方體）的外接球球心不難找到. 如：設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，和的則該球的表面積為（ ）

A. ？仔a2 B. ？仔a2 C. ？仔a2 D. 5？仔a2

因為是一個直棱柱，上下底面中心連線段中點就是球心，凡是直棱柱的球心都是如此.很多題目都是以這兩個題目作為母題，進行變式.

1. 將棱錐補成直棱柱

例1.（廣州執信中學2017- 2018學年高三期中理11）三棱錐A-BCD中，底面△BCD是邊長為3的等邊三角形，側面三角△ACD為等腰三角形，且腰長為，若AB=2，則三棱錐A-BCD外接球表面積是（ ）

A. 4？仔 B. 8？仔 C. 12？仔 D. 16？仔

解析：

如圖1，可知AB⊥平面BCD，所以只需要把三棱錐補成一個直棱柱，當直棱柱與三棱柱的外接球是同一個球，所以只要求出這個直棱柱的外接球的半徑就可以了. 而這個球心就在上下底面中心的連線段的中點處，BO2=BC=，OO2=1，∴ BO1=R=2，外接球表面積S=4？仔R2=16？仔，選D.

例2.（華中師大附中2017-2018高三期中考試文9）如下圖所示是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體外接球的表面積為（ ）

A. 8？仔 B. 16？仔 C. 32？仔 D. 64？仔

解析：把三視圖還原成直觀圖后，如圖四，底面是個直角三角形，∠C=90°，AA1∥BB1，AA1⊥面ABC，所以要找外接球的球心，只要把這個幾何體補成一個直三棱柱，就知道球心O在上下兩個底面的外接圓圓心O1，O2連線段的中點上，外接球半徑R=OA==2，S=4？仔R2=4？仔（2）2 =32？仔，選C.

小結：多面體外接球問題，若可以補形為直棱柱，則補形為直棱柱比較簡單.

變式練習：

1.（執信2017- 2018學年高三期中文）三棱錐S-ABC 及其三視圖中的正視圖和側視圖如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）

A. 32？仔 B. C. D.

2.（2016廣州一測10）一個六棱柱的底面是正六邊形，側棱垂直于底面，所有棱的長都為1，頂點都在同一個球面上，則該球的體積為（ ）

A. 20？仔 B. C. 5？仔 D.

2. 補成長方體（正方體）

長方體和正方體的外接球問題比較容易，因為二者都是規則的幾何體，長方體（包括正方體）的中心就是球心，即正方體的體對角線中點就是球心. 如：長方體的長寬高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為

.

掌握了這些基本題型，很多類似的題就可以轉化長方體（包括正方體）來解.

例1. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為（ ）

A. B. 2 C. D. 3

解析：如圖8，因為AC，AB，AA1三條直線相互垂直，所以可以以此三邊作為長方體的三條棱，補成一個長方體如圖9，則長方體的對角線長l===13，所以外接球的半徑R=，故選C.

例2. 已知正三棱錐P-ABC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_______.

解析：如圖10，正三棱錐P-ABC，所以可以把它補成一個正方體如圖11，設正方體邊長為a，3a2=（2）2，BC=2，CH==，PH==，正方體的球心到H的距離d=R-PH=-=.

小結：只要有三條相互垂直的棱，就可以嘗試補形為長方體（或正方體）.

變式練習：

3. 某幾何體的三視圖如圖12所示，則該幾何體外接球的表面積為（ ）

A. 4？仔 B. 12？仔

C. 48？仔 D. 6？仔

4.（2017佛山一模文）已知三棱錐P-ABC的三條側棱 PA，PB，PC 兩兩相互垂直，且PA=2，PB=3，PC=2，則此三棱錐的外接球的體積等于________.

方法二：過小圓圓心作垂線確定球心

若多面體不是規則圖形，則尋找外接球的球心較為困難，但是可以用下面的方法去嘗試，一個錐體的外接球球心，一定在過底面這個多邊形所在的小圓的圓心的垂線上.

例1. 某幾何體的三視圖如圖13所示，正視圖為直角三角形，側視圖為等邊三角形，俯視圖為等腰直角三角形，則其外接球的表面積為（ ）

A. 5？仔 B. ？仔 C. 8？仔 D.

解析：直觀圖如圖14所示，外接球球心一定在與三角形ABC的外心垂直的直線上，不妨設球心為O，所以OS=OA=R， （-x）2+12=（）2+x2，x=，R2=，S=4？仔×=，選D.

例2. 在四面體S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為（ ）

A. 11？仔 B. 7？仔 C. D.

解析：如圖16所示，要找到外接球的球心，考慮到三點A、B、C在球上，所以我們先設經過這三點的小圓圓心為O1，球心O一定在過O1與平面ABC垂直的直線上，設球心為O，過O作OH⊥SA，可知O1O=HA=1，OH=O1A，O1A是三角形ABC外接圓圓心，設它的半徑為r，計算得BC=，=2r，r=，所以OA2=R2=OO12+r2=12+（）2=，所以外接球的表面積S=4？仔R2=4？仔×= ，故選C.

小結：過錐體的底面所在 的小圓圓心作垂線，球心就在此垂線上，再通過計算可以求出半徑.

變式練習：

5. 正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（ ）

A. B. 16？仔 C. 9？仔 D.

6. 如圖18，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=2，PA=PD=AB=2，則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為（ ）

A. 2？仔 B. 4？仔 C. 8？仔 D. 12？仔

變式練習答案：1. B；2. D；3. B；4. ；5. A；6. D

責任編輯 徐國堅