基于小初銜接的初中數學單元教學實踐

包麗

本節課的設計是在充分研究了小學教材“分數”及初中教材“分式”的基礎上進行的.學生在小學階段已經了解了什么是分數及分數的基本性質、通分、約分、分數的運算等內容，而分式的內容有與之類似之處，由具體的數抽象到一般的式.針對學生小學階段的基礎，我設計了如下單元教學課.

【教學目標】

1.基于實際問題建立數量關系，抽象出分式概念，使學生體會分式是刻畫現實世界中數量關系的一類重要代數式.

2.用“從具體到抽象”“由特殊到一般”“類比”等方法提高學生自主探究能力.

3.通過類比分數的相關知識及研究方法幫助學生建構“分式”的知識框架，掌握相關研究方法.

【教學重點、難點】

重點：1.分式、分式有意義的概念、分式的值；2.了解“分式”的研究方法并初步建構知識體系.

難點：運用類比的方法建構分式的知識體系.

【教學過程】

一、基于實際問題引導學生比較、概括、總結出分式的概念

引例：①我校占地面積12 200平方米，在校學生數是3 700人，則人均占地面積為 平方米.

②長方形面積為s，若長為a，則寬為 .

③一輛汽車勻速行駛a千米用去b小時，一列火車勻速行駛a千米比汽車少用1小時，則這列火車的速度為 千米/時.

④一艘輪船在靜水中的速度是30千米/時，江水的速度是v千米/時，則這艘輪船順流航行90千米所用的時間是 小時，逆流航行60千米所用的時間是 小時.

思考：哪些式子是我們學過的、熟悉的？兩類式子有什么相同點和不同點？（小組交流）

以上這些式子都反映了這些具體問題中的數量關系，如中，被除數和除數都是具體的兩個整數，因而表示具體的數值，它是我們小學學過的分數；但、、、這幾個式子，被除數和除數都是整式，表示一般的數，這類式子叫做分式.

總結：分式的定義：如果表示A，B兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.

思考：分數與分式有何區別和聯系？

分數的分子和分母都是具體的整數，分式的分子、分母由具體的整數推廣到一般的整式，并且分母中一定要含有字母，分式比分數更具一般性.所以由分數到分式是由特殊到一般，由具體到抽象.分數是整式，整式和分式都是代數式.

例：下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？

，，，，，，，

結論：分數是整式，含有分數系數的整式不是分式，分式的分母中必須含有字母

總結：分式是反映實際問題中數量關系的一個重要式子，它在解決實際問題中有著廣泛的應用.

二、引導學生對實例進行研究，使學生明確學習分式的價值.

在引例③中，火車行駛的速度、路程與時間的關系用分式表示，反過來，分式是不是僅僅表示這個問題中的數量關系呢？如果a表示長方形面積，b-1表示長方形的寬，此時長方形的長也用分式表示.可見同一個分式可以表示多種實際意義.分式是反映實際問題中數量關系的重要式子，在實際生活中有廣泛的應用，應通過具體事例讓學生明確學好分式相關知識的重要性.

三、在問題的解決過程中探尋“分式的值”“分式有意義”的概念

在引例③中，分式表示火車速度與路程、時間的數量關系，那么火車的速度究竟是多少？如果a=1 200千米，b=11小時，那么火車的速度為120千米/小時.

歸納：這里我們用1 200、11代替了分式中的字母a、b，按照分式運算所得的結果即分式的值.所以120叫做分式當a=1 200，b=11時的值.若a=1 200，b=10，分式的值是多少呢？可見分式的值是隨著分式中字母取值的變化而變化的.若a=1 200，b=1，分式的值是多少？此時分式無意義（分母不能為0）.所以求分式的值時，字母的取值必須確保分式有意義.

總結：分式有意義的條件：分式的分母不能為0.當B≠0時，分式有意義；當B=0時，分式無意義.

練習（學生口答并說明解答依據和過程）：

（1）當x 時，分式有意義.（x≠0）

（2）當x 時，分式有意義.（x≠1）

（3）當b 時，分式有意義.（b≠）

（4）當x、y滿足關系 時，分式無意義.（x=y）

（5）當x 時，分式的值為0.（x=1）

（6）當x 時，分式的值為0.（x=1）

四、引導學生進行知識的正遷移，構建知識框架，掌握研究方法

思考：（1）= （2）=

（3）= （4）=

你解決這些問題的依據是什么？關于分數我們還學了哪些知識？

分數的基本性質、約分、通分、分數的加減、分數的乘除.通過回顧分數的知識框架構建出分式的知識框架.

你能猜想出我們本章將要研究的內容嗎？請用下面的框架圖表示.

分式還有一類應用，例如引例④，如果順流航行90千米所用的時間和逆流航行60千米所用的時間一樣，你會求江水的流速嗎？這時我們就要用到方程=，這是什么方程？所以對分式的研究除了和小學階段學習的分數完全類似的部分外，還有對分式方程的研究，這也是分式這一章要研究的重要內容.

五、師生共同小結

（1）本節課研究了哪些內容？研究的過程、方法？

（2）分式就是把分數的分子、分母從具體的整數推廣到一般的整式，且在分母中一定含有字母，因此分數不是分式，是整式.

（3）在學習中運用了從具體到抽象、從特殊到一般的分析方法，并對分式和分數進行類比、對比，在學習其他知識時也可以應用這些思想方法.

六、課外作業

必做題：

1.閱讀教材，完成129頁的練習.

選做題：

1.對于分式，

①當取何值時分式有意義？

②當取何值時分式無意義？

③當取何值時分式值為0？

2.若x2-9=0，求分式的值.

3.已知x2+3x-1=0，求x2++2x-的值.

預習：自學分式的基本性質，下一節課交流自學過程和成果.

【教學思考】

一、小初教材內容的關聯性讓初中數學部分章節具備單元教學可行性

“從分數到分式”這一小結啟發我從分數與分式的關系入手研究“分式”的教學內容、教學過程以及研究策略，立足分數學分式對提高學生的學習水平是很有幫助的.

分數與分式是具體與抽象、特殊與一般的關系.分數用于表示具體的數值，即每個分數都表示為兩個特殊整數相除；而分式更具一般性、抽象性，可表示為任意兩個數相除.所以，對于具體分式而言，分數是具體的、特殊的對象，分式則是把具體分數一般化后的抽象表示.分式的概念、基本性質等都可以從分數的概念、基本性質等中抽象產生，兩者可以分別對應，分數和分式具有一致性，即數式通性.為了讓學生進一步理解“客觀世界中大量問題需要用到數學研究”，進一步理解“眾多數學概念產生于客觀實際需求”，進而使學生體會分式是刻畫現實世界中數量關系的一類代數式，我在“分式”概念教學時選用了與學生實際生活相聯系的問題作為知識背景，呈現具體的分數和分式。在這樣的數學情境中，學生不僅容易對新產生的代數式產生興趣，而且初步體會到“新知識是由實際需要產生的，又是為解決實際問題所需的”，使接下來引導學生認真觀察、思考，通過對比和類比生成分式的定義和有關概念更加容易.

二、小初教材內容的關聯性讓初中數學部分章節具有單元教學必要性

課堂是師生思想交流的場所，基于分數與分式的內在聯系，大多數學生很容易接受分式的內容，但是對知識的理解是散亂的，對所學知識的框架體系是模糊的.在章節起始課進行單元教學可以讓學生知道本章將要學些什么，它們之間有著怎樣的關系，有助于學生全局觀的養成和知識體系的形成.當然，這些框架構建的主體必須是學生自己，教師切不可為方便、省時而越俎代庖，必要時可引導學生類比與遷移，盡量用其較為擅長的方式去掌握知識.

（課題項目：南通市教育科學“十三五”規劃2016年度課題：基于小初銜接的初中數學教材整合的研究）

編輯/王一鳴 E-mail：51213148@qq.com