例談“解題表”在數學應用題教學中的應用

朱振華

摘 要：數學應用題解題是高考中的熱點。但學生對普遍具有畏難的思想。本文探討波利亞的“解題表”在數學解題教學中的應用，試圖借助波利亞的解題思想來探求應用題的簡單易行的解法，以提升學生解題的速度和準確度。

關鍵詞：應用題；波利亞；解題表

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）15-078-2

高考數學應用題，是高考的熱點題型之一，但由于種種原因，很多學生對應用題望而生畏，其中一個重要原因是缺乏正確的解題方法作為指導。著名數學教育家G·波利亞在《怎樣解題》（1945年）著作中，曾把傳統的單純解題發展為通過解題獲得新知識和新技能的學習過程，并對過程設計在一張“解題表”中，它歸納出了四個主要步驟：弄清問題；擬定計劃；實施計劃；回顧，然后用一系列問句表達出來，使得解題過程更加有啟發性。筆者認為，運用“解題表”四個步驟來解應用題，簡單易行。現舉例說明：

題目：如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點）來處理污水，管道越短，鋪設管道的成本越低。設計要求管道的接口H是AB的中點，E，F分別落在線段BC，AD上。已知AB=20米，AD=103米，記∠BHE=θ。

（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數，并寫出定義域；

（2）若sinθ+cosθ=3+12，求此時管道的長度L；

（3）問：當θ取何值時，鋪設管道的成本最低？

并求出此時管道的長度。

解題過程：

第一步：弄清問題

弄清問題，實際上就是審題。數學應用題的審題主要抓住兩個方面：背景分析和量與數的分析。

問題1：問題的背景是什么？

在物理、工程中，很多問題常運用三角函數的知識解決，主要涉及邊角問題，有時用正、余弦定理解決實際問題是三角函數工具性的最重要的體現，在這類問題中有時也涉及到以角為變量的最值問題。通過審題，理解該題是怎樣的一個問題，要多讀幾遍不清楚的地方，抓住問題中的關鍵信息。解決該問題首先將污水凈化管道的長度表示為關于θ的函數，求出定義域。其次，研究當θ取何值時，鋪設管道的成本最低，并求出此時管道的長度，是一個典型的最值問題。

問題2：問題中涉及到哪些量？

數學主要研究空間形式和數量關系。在數學應用題中研究數量關系的問題比較多。在理解此問題背景的基礎上，分析問題中涉及到哪些量，哪些量是已知的，哪些量是未知的，哪些量可以求出，哪些量不能求出的？涉及到的量有：管道的接口H是AB的中點，E，F分別落在線段BC，AD上。AB=20米，AD=103米，記∠BHE=θ。在分析題意時，要對背景信息進行深入剖析，不能浮于問題的表面。要善于從數學的思維角度去分析題意，抽象出題目所提供的信息中的各種量和數值。也就是要發現信息，記錄信息，轉譯信息。

第二步：擬定計劃

考慮怎樣把實際問題，轉化成數學問題。在上一步，我們分析出了問題中涉及到的量，現在進一步研究各個量之間的關系，進行數學化設計，建立三角函數模型。本題第一問我們不難得到Rt△FHE三邊長EH，HF，FE，可以求出周長，將污水凈化管道的長度表示為θ的函數，并利用BE，AF的長度限制條件求出定義域。至此，我們把這些自然語言轉譯成數學語言，得到函數關系，三角函數模型建立起來了。本題第二問是相對比較容易，是三角函數問題。而第三問是研究鋪設管道的成本最小值，在建立以成本關于θ的三角函數，求解三角函數的最值問題。

第三步：實現計劃

三角函數應用題大都可以引進以角為參數來解答用平面圖形作為數學背景的應用題。利用三角函數的有關公式進行推理，解決最值問題，關鍵是通過圖形分析，得出函數關系式。

（1）EH=10cosθ，FH=10sinθ，EF=10sinθcosθ

由于BE=10·tanθ≤103，AF=10tanθ≤103，

33≤tanθ≤3，θ∈[π6，π3]

所以L=10cosθ+10sinθ+10sinθ·cosθ，θ∈[π6，π3]

（2）sinθ+cosθ=3+12時，sinθcosθ=34，L=20（3+1）；

（3）L=10cosθ+10sinθ+10sinθ·cosθ=10（sinθ+cosθ+1sinθ·cosθ），設sinθ+cosθ=t，

則sinθ·cosθ=t2-12，由于θ∈[π6，π3]，

所以t=sinθ+cosθ=2sin（θ+π4）∈[3+12，2]，L=20t-1，在[3+12，2]內單調遞減，于是當t=2時θ=π4。L的最小值20（2+1）米。

答：當θ=π4時，所鋪設管道的成本最低，此時管道的長度為20（2+1）米。

在實施計劃過程時，要考慮它是怎樣的數學問題，在自己的信息塊中提取相關的信息，識別相關模式。逐漸把未知轉化為已知。這就要求學生的“三基”必須扎實，對基本問題熟練掌握，并要深刻理解。另外，在對問題求解時，要檢驗每一步驟，對自己的思維進行元認知調控，保證每一步的準確性。

第四步：回顧

正面校驗每一步推理是否是合理的、有效的。本題以角作為參變量，結合圖形，通過尋求三角形中的邊角關系，列出函數關系式，運用換元的思想從而解決了最值問題。解題回顧應包含這幾個方面：①檢驗解題的每一步，包括對數學模型的求解和結論是否符合實際情況。比如對本問題，對于定義域θ∈[π6，π3]，有必要進行求解檢驗，在平時教學中注意對學生思維批判性的培養。②反思對信息是如何加工的，深化解題方法；③反思這個問題涉及到哪些知識點，這些知識點是否熟練掌握了，還有哪些欠缺？④解決這個問題用了什么數學思想方法？⑤這個問題還有沒有其它的解法，哪一種更簡潔，哪一種是通法？培養學生的發散思維和創造性。我們在解題時，應和學生的思維特點聯系起來，尋求通法，少用特殊技巧。

解題教學是數學教學的重要環節，其效果直接影響學生的解題能力。學生在解題時，往往只注重分析和求解，不注意回顧反思。所以教師要引導學生進行回顧，明確回顧的意義，并逐漸養成習慣。因此，對于應用題的教學，提出如下建議：循序漸進，樹立學生的自信心，消除畏懼心理；加強學生的數學應用意識，引導學生勤于觀察生活中的數學問題，并深入探究；注重基礎知識的教學和基本能力的培養；注重應用題的解題分析和求解策略的教學，加強學生的思維調控。

[參考文獻]

[1]（美）G·波利亞著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題：數學思維的新方法.上海科技教育出版社，2007（05）.

[2]池俊.例說波利亞“怎樣解題表”的應用.福建中學數學，2014（09）.

[本文系南通市十三五規劃課題（GH2016123）《G·波利亞（解題表）引導學生發展數學思維與創新能力的實踐研究》研究成果]