變式訓練在數學教學中的應用

韓麗

數學教學要注重培養學生的邏輯思維能力，而變式訓練是最好的訓練思維能力的方式，教師可以利用“變式訓練”引導學生對數學問題進行多角度、多方位、多層次的討論和思考，體會所學知識發生、發展和應用的過程，教育學生從“變”的現象中發現“不變”的本質.下面以一道習題為例闡述變式訓練在數學教學中的應用.

原題：已知在三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分別是垂足，求證：DE=DF.

這是在復習全等三角形和等腰三角形知識時遇到的一道習題，可以利用全等方法證明，也可以利用等腰三角形性質證明，還可以利用面積證明.為了培養學生的發散思維能力，使課堂教學更加高效，下面就此習題談下如何進行變式訓練：

一、變特殊為一般

變式1：過B作BH⊥AC于H，將“D為BC的中點”改為“D在BC上，且D不與B、C重合”，其余條件不變，問DE、DF、BH的關系，并證明.

把中點改為底邊上任意一點，可以使問題由特殊到一般，結論的探究化更有利于培養學生的劃歸、遷移能力，提高他們思維的靈活性.

變式2：過B作BH⊥AC于H，D在BC或CB的延長線上，其余條件不變，問DE、DF、BH的關系，并證明.

可得出結論：|DE-DF|=BH.此變式可使學生的認識更具一般性.

變式3：將此結論推廣到等邊三角形：等邊三角形中任意一點到三邊的距離之和等于等邊三角形的一條高.

證明的方法與上面的方法類似.這是等邊三角形很重要的性質.

二、變條件的同時變結論

變式4：已知點D為BC邊上任意點，把“DE⊥AB，DF⊥AC”變為“DE∥AC，DF∥AB”，探究DE+DF是否為定值，如果是，等于什么？如果不是，說明理由.

此變式由特殊到一般，符合學生的認知規律，由標準化命題變為探索性命題，增加了習題難度，調動了學生的積極性，進而培養學生的探索能力和發散思維能力.

變式5：已知在三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分別是垂足，若∠A=90°求證四邊形DFAE是正方形.

三、變直接為間接

變式6：等腰條件不變，變“DE⊥AB，DF⊥AC”為“以AD為直徑的圓與AB、AC相交于E、F，與BC切于點D”，連接DE、DF，求證DE+DF為定值.

變式7：已知A是圓O外一點，向圓O引切線，切點為B、C. D為BC上任意一點， DE⊥AB ，DF⊥AC，AB=4厘米，圓O半徑為3厘米.求：DE+DF的值.

以上兩個變式把等腰三角形的模型鑲嵌在圓中，學生既能復習等腰三角形知識，同時又應用了圓的相關知識.由直接到間接，無形中又增設了一道障礙，在圖形的結構上干擾了學生的視線，使學生必須進行思維遷移，同時培養了他們戰勝困難的能力和信心.

四、變單一為綜合

變式8：已知：正方形ABCD的邊長為a， E是BD上一點，BE=BC，F是EC上任意一點，FM⊥BD，FN⊥BC，FM·FN= a2.

求證：FM、FN是一元二次方程x2- ax+ a2=0的兩根，并確定F點的位置.

將原題與代數知識相結合，加大了題目的難度.數學學習會經歷從表象到本質，由片面到全面，由外部聯系到內部聯系的過程，知識的推移與不斷深化有助于縱穿橫拓學生的思維，有利于提高學生的思維能力和探索能力.

總而言之，變式訓練有利于引導學生的思維向縱深發展，強化了學生對數學概念、數學思想的認知與理解，有利于由淺入深、由易到難地培養學生的思維延伸能力.

編輯/王一鳴 E-mail：51213148@qq.com