三自由度工業機器人動力學分析

楊 妍，潘松峰

（青島大學 自動化與電氣工程學院，青島 266071）

0 引言

現在的服務型機器人當中的動力學運用比較廣泛，如波士頓機器人的后空翻動作運用的是典型的動力學設計，但是在工業機器人領域當中，更多的是運用運動學來解決問題，動力學的運用相對來說就少之又少，現有的動力學中也以機器人的本體動力學為主，然而，機器人在運動的過程中必然會存在能量的消耗問題，而機器人的動力來源于電機，將電機模型和機器人本體動力學模型結合得到的動力學模型將全面考慮機器人的運動過程中的消耗問題，也將為日后的工業機器人的動力學研究打下基礎。

1 機器人本體動力學模型

三自由度機器人的結構原理圖如圖1所示。

圖1 三自由度機器人結構原理圖

圖2 三自由度機器人結構仿真圖

圖1中，A、B兩點之間為桿1，桿長為d1，質量為m1，旋轉角度為0°≤θ1≤180°，驅動電機在A點作用；B、C兩點之間為桿2，桿長為d2，質量為m2，旋轉角度為0°≤θ2≤180°，驅動電機在B點作用；C、D兩點之間為桿3，桿長為d2，質量為m3，旋轉角度為0°≤θ3≤180°，驅動電機在C點作用。其中，各桿的質量均以桿末端點的質量來表示。

我們利用拉格朗日功能平衡法來計算系統的本體動力學方程。

拉格朗日函數定義如下：

其中，K表示動能，P表示位能，K和P可以用任何方便的坐標系來表示。

則機器人的動力學方程可以表示為：

由式(1)、式(2)我們可以得到機器人的本體動力學方程為：

2 雅可比矩陣

根據機器人運動學方程的正解，可以知道末端抓手的位置矢量P1，P2，P3，則沿基坐標軸方向的平移速度矢量可以表示為：

由此可以得到機器人的雅可比矩陣為：

3 電機模型

機器人的驅動電機我們選用PMSM（永磁同步電機），PMSM在同步旋轉坐標下的數學模型可以表示為：

式中，ud和uq分別為d軸和q軸的定子電壓；id和iq分別為d軸和q軸的定子電流；TL為負載轉矩；RS為定子電阻；為轉子機械角速度；為永磁體產生的磁鏈；np為極對數；J為轉動慣量；Te為電磁轉矩。

若機器人的關節驅動電機為PMSM，三自由度機器人動力學控制原理圖如圖3所示。

在工程計算中，往往不用轉動慣量J，而用飛輪矩GD2，兩者之間的關系如下：

將式(11)代入式(10)中可得：

當Te＞TL時，，系統加速；

圖3 機器人動力學控制原理圖

當Te＜TL時，，系統減速；

當Te=TL時，系統以恒速運動，即穩態運動，在穩態時，電動機的電磁轉矩大小由電動機的負載轉矩所決定。

在實際的系統中，在電機與負載之間往往有減速器，如圖4所示。

圖4 多軸傳動系統圖

在計算過程當中，我們通常將負載轉矩折算到電機轉矩上。

首先，按照能量守恒，折算到電機軸上的負載功率應等于工作機械的負載工率加上減速器中的損耗，即：

兩種運動負載折算到電機軸上的轉矩為：

按照能量守恒：

等效的轉動慣量和飛輪矩分別為：

4 機器人動力學模型

機器人的動力學模型就是將機器人的本體模型與雅可比矩陣和電機模型相結合，即由式(3)、式(9)、式(12)、式(17)可得：

5 結束語

本文研究的對象主要是三自由度工業用機器人，對其動力學進行了分析。我們首先通過機器人的結構原理圖及其相關參數得到機器人的本體動力學模型，再通過建立的坐標系推導出機器人的雅克比矩陣，再通過運動學逆解，知道末端位姿與各個關節之間的聯系。機器人的各個關節都采用PMSM來控制，通過PMSM的數學模型得到電機的電磁轉矩與負載轉矩之間的聯系，并將負載的轉矩和飛輪矩通過減速器的減速比和能量守恒定律折算到電機側，得到了折算到電動機軸上的總轉動慣量，進而得出機器人完整的動力學方程。通過方程我們可以看出，電機的轉速、重量以及慣性直徑和減速比等都與機器人各關節的位置和速度有直接的關系，我們可以改變相關的參數來改變機器人的姿態，實現良好的控制，這為日后研究工業機器人的動力學控制打下基礎。