模糊層次分析法中權重求解的線性目標規劃模型

閆利軍，樵軍謀，徐 堅，梁 輝

（西北機電工程研究所，咸陽 712000）

0 引言

層次分析法（Analysis Hierarchical Process,AHP）是一種有效的數學分析與評價決策工具，它將加權方法與主觀測度方法結合在一起，能夠較好地解決多準則決策問題。AHP具有一系列優點，它使用簡單，通過建立各層因素間兩兩比較判斷矩陣的方法來確定各因素的權重；能夠將定性分析轉換成定量計算，有效地將決策過程的定性因素和定量因素進行統一的量化處理，使得能夠用數學方法對決策模型進行分析和運算；提供對群體決策的支持。總之，AHP具有堅實的數學理論基礎，已經被用于多個領域解決多準則決策問題[1～4]。

盡管AHP方法具有諸多優點并在評價決策領域獲得廣泛應用，但直接將它用于產品設計方案的選擇評價并不合適，這是因為AHP本身是一種確定性的決策分析工具，它基于決策者對評價目標的精確估計建立兩兩比較判斷矩陣，從而獲得評價目標之間的相對權重，這種方法并不符合實際的設計決策情形。產品開發早期的方案設計階段具有典型的不確定性，決策者大多只能依靠定性的分析，而不是定量的計算進行方案的分析決策，因此其判斷存在一定程度的模糊性，精確估計評價目標之間的相對重要性通常十分困難。因此，為了有效處理評價決策過程中的不精確判斷信息，模糊層次分析法（Fuzzy AHP，FAHP）應運而生且得到了廣泛的應用[5～8]，FAHP用三角模糊數或梯形模糊數表達決策者的判斷，它能夠有效表達決策者思維上的模糊性和不確定性，更加符合實際的設計決策情形。

FAHP應用的關鍵問題是如何從模糊判斷矩陣中獲得評價目標的權重向量。已有較多的學者對此問題進行了研究[5,9～11]，并提出了多種權重求解方法，如對數最小平方法（LLSM）、幾何平均法（Geometric Mean Method）、限度分析法（Extent Analysis Method）、模糊偏序規劃（Fuzzy Preference Programming）等，所有這些方法中，限度分析法由于使用簡單而獲得廣泛的應用，但是Wang等[12]通過研究發現這種方法有時會得出錯誤的結果而導致決策者做出錯誤的決策。本文研究的目的是為FAHP尋求一種合理而簡單的權重求解方法，從而克服已有方法的不足，提高FAHP的使用效率和可靠性。為此，本文以模糊判斷矩陣的不一致性程度最小為目標，建立了一種模糊權重求解的線性目標規劃模型。該模型使用簡單且容易求解，基于該模型計算能夠獲得可靠的元素權重。

1 FAHP中權重求解的線性目標規劃模型

對于FAHP，為了從建立的模糊判斷矩陣中獲得評價目標的權重向量，本文建立了一種權重求解的線性目標規劃模型。下面以三角模糊數判斷矩陣為例描述該模型的建立過程，建立的模型完全可以推廣到區間模糊數和梯形模糊數判斷矩陣的情況。

如果判斷矩陣為完全一致性矩陣，則有：

式(3)～式(5)等價于：

如果判斷矩陣為不一致矩陣，則令：

其中αij、βij、γij表示不一致性引起的估計偏差。

2）式的目標函數是要使決策者的估計和元素重要性比值的期望之間的偏差最小，其根本目的是追求判斷矩陣的不一致性程度最低。因此，式(2)的目標函數等價于：

根據Wang和Elhag的研究結果[12]，模糊歸一化的權重向量一定滿足下列約束條件：

式(13)～式(15)等價于：

由于|(a+b+c)/3|≤|a|+|b|+|c| ，所以：

基于以上分析，本文建立的非線性規劃模型為：Min：

令：

i=1,2,…,n，i＜ j ＜n，則有：

從而，將式(19)的非線性規劃模型變換成式(20)的線性目標規劃模型：

對該模型的求解，可采用單純形法，具體過程不再詳述。對任何滿足一致性指標的三角模糊判斷矩陣，其規劃模型中的目標函數值等于0。反過來，如果規劃模型中目標函數的值為0，那么就一定可以肯定相應的三角模糊矩陣為一致性判斷矩陣，否則，為非一致性判斷矩陣，且目標函數值的大小反映了判斷矩陣的不一致性程度。

2 實例分析

對該判斷矩陣，采用本文目標規劃方法得到的模糊歸一權重為：

該權重向量對應的目標函數值為：Z*=0.034。由于目標函數值不等于零，因此可以肯定該矩陣為不一致判斷矩陣。

對此判斷矩陣，文獻[15]采用限度分析法得到的確定性權重值為W=（0.46，019，0.12，0.12，0.11）T。可以發現，該結果的前三個元素權重0.46，0.19和0.11均超出了它們的合理取值區間（（0.367～0.405），（0.211～0.259），（0.113～0.155））。因此，其結果是不合理的。Wang等[12]研究認為通過限度分析法獲得的權重并不能真正反映決策準則或備選方案之間的相對重要性，因此，也不能作為這些元素的重要性權重。這就是為什么在上述實例中采用限度分析法得到的確定權重值超出了采用目標規劃方法得到的模糊權重的區間范圍的原因。

3 結論

考慮到模糊層次分析法在實際的評價決策領域應用的廣泛性，以及通過模糊判斷矩陣求解元素權重的困難性，本文以模糊判斷矩陣的不一致性程度最小為目標，建立了一種模糊權重求解的線性目標規劃模型，在權重的合理范圍內尋找使目標函數最優的期望權重作為最終的評價元素權重，目的是使得元素重要性權重與決策者估計之間的偏差最小。通過實例計算并和文獻中采用限度分析法給出的結果進行比較，指出限度分析法計算得到的元素權重的不合理性。