各向異性大氣湍流中渦旋Lommel光束傳輸特性

楊瑞科，周 靜

(西安電子科技大學 物理與光電工程學院，陜西 西安 710071)

近年來基于光子軌道角動量(Orbital Angular Momentum，OAM)的自由空間光通信(Free Space Optics communication，FSO)備受關注，因為它可以在不增加光譜帶寬的前提下顯著提高信道的信息容量[1]．理論上軌道角動量數(或稱拓撲荷)l為任意整數，可以構成無窮維希爾伯特空間，因此，較傳統的二進制編碼，光束的軌道角動量編碼能夠有效地提高數據傳輸容量[2]．且基于軌道角動量光通信的軌道角動量間的串擾小，與傳統的二維量子密鑰分發方案相比，它的量子高維密鑰分發方案具有更高的防竊聽特性[3-4]．

大氣湍流是限制FSO通信發展的關鍵因素之一[5]，因此，渦旋光束在大氣湍流中傳輸特性研究對減緩湍流效應措施具有重要意義．自1992年，文獻[5]發現帶有相位因子 exp(imθ) 的光束中每個光子具有hm/(2π) 的軌道角動量后，攜帶軌道角動量的渦旋光束及其傳輸特性研究得到極大的關注[6]．文獻[7]研究了在FSO光鏈路由湍流引起的信道串擾的軌道角動量復用．文獻[8]利用Rytov近似，分析了湍流對拉蓋爾-高斯謝爾(Laguerre-Gaussian Schell)光束的模式概率、串擾概率的影響．文獻[9]計算了多漢克-貝塞爾(Multiple Hankel-Bessel，MHB)光束在各向異性大氣湍流中的傳輸特性，分析了各向異性湍流參數對疊加的軌道角動量模式概率的影響．然而，對無衍射的渦旋光束在各向異性大氣湍流中傳輸特性的研究并不多．

無衍射洛默爾(Lommel)光束是一種攜帶軌道角動量的光束，其實質是貝塞爾模式的無窮線性疊加，其波矢量具有相同的軸向投影，它是最近發展起來的一種傍軸無衍射光束[10]，具有很窄的光束半徑，中心光斑半徑可以非常窄，且不受傳播距離而改變．近年來，無衍射渦旋光束已可用于FSO通信的光束源，可作為減緩大氣湍流效應的一種有效措施[11]．對無衍射MHB渦旋光束的研究表明，其在大氣湍流中的傳輸性能優于經典的拉蓋爾高斯光束[9]．因為無衍射光束的橫向強度分布在傳播過程中被結構化地保持，遇到障礙物后能夠重構，這有助于減輕湍流的不利影響[12]．

迄今，關于Lommel光束在各向異性非科爾莫戈羅夫(non-Kolmogorov)大氣湍流中傳輸特性的研究還鮮有報道．文中對具有不同軌道角動量和波束參數的Lommel光束在不同程度各向異性non-Kolmogorov湍流(即湍流譜冪指數，廣義折射率結構常數，湍流內、外尺度等參量變化)中傳輸時的各個軌道角動量模的接收功率和不同軌道角動量模之間的串擾功率進行理論推導和數值分析研究．該研究可為自由空間渦旋光束通信及減緩湍流效應措施的進一步研究提供參考依據．

1 理論分析

無衍射Lommel光束在柱坐標系下的電場解析表達式為[12]

(1)

其中，r=|r|，r=(x，y)，是源平面內的位置矢量;φ是方位角;z為傳播距離; 波數k= 2π/λ，λ是波長; 而kρ是波數的橫向分量; Jl0+2p表示第一類貝塞爾函數;c是不對稱復數參數; 整數l0是光子軌道角動量數(也稱為拓撲荷數)．為了分析Lommel渦旋光束的特性，在圖1中給出了Lommel光束在源平面 (z=0) 處橫向強度分布，其中光束的各項參數為l0=1，λ= 1 550 nm，kρ= 0.001k，在柱坐標下，x，y的取值范圍是 -0.01 m≤x，y≤ 0.01 m．圖1顯示出，當c值較小時，Lommel光束的衍射圖案接近于圓對稱．隨著不對稱參數c的增加，圓對稱現象消失，在橫平面上形成的強度圖具有軸對稱形狀的兩個新月牙分布[13]．可看出對稱軸的方向由參數c決定．

圖1 源平面上不同c值的Lommel光束的橫向強度分布圖

在大氣湍流中，攜帶軌道角動量的Lommel光束的復振幅在柱坐標系(r，φ，z)下的表達式為

E(r，φ，z)=Eo(r，φ，z) exp[ψ(r，φ，z)] ．

(2)

大氣湍流的折射率起伏對在其中傳播的光場有干擾作用，從而使得軌道角動量模并不能保持其原有的量子態，而是在湍流作用下躍遷到相鄰的軌道角動量模上，形成串音干擾[3]．因此，接收處的光波可以改寫為攜帶相位因子 exp(ilφ) 的螺旋諧波的疊加模式[14]，即

(3)

而展開系數βl(r，z)為

(4)

(6)

其中，ρ0是球面波在各向異性的non-Kolmogorov湍流下的空間相干長度，形式為

(7)

其中,φn(κ)是各向異性大氣湍流的功率譜．假設湍流各向異性只存在于光束的傳播方向上，并考慮湍流內、外尺度的影響，采用各向異性non-Kolmogorov湍流譜[9]，即

(8)

A(α)=Γ(α-1) cos(πα/2)/(4π2);c(α)={πA(α) Γ(3/2-α/2) [(3-α)/3]}1/(α-5),

(9)

其中，Γ(·)是伽馬函數．利用馬爾科夫近似，忽略式(9)中空間波數κz分量，再將式(8)代入式(7)中，得到[9]

(10)

(11)

其中，I(·)表示功率．可得到各向異性湍流下的Lommel光束模式概率的表達式為

其中，Jl0+2p和Il-l0-2p分別表示第一類貝塞爾函數和第一類修正貝塞爾函數，ρ0是式(10)表示的各向異性湍流中的Lommel光束的相干長度．

(13)

其中，D是探測器孔徑直徑．軌道角動量模的接收功率Pl0表示在接收平面處接收信號的拓撲電荷為l0的歸一化功率(即當l=l0時的功率)，即在接收平面處探測到的軌道角動量模l等于Lommel光束在發射平面處攜帶的軌道角動量模l0．Pl為軌道角動量的串擾功率，即在接收平面處接收信號的拓撲電荷為l=l0+ Δl的歸一化功率．

2 計算分析

根據Lommel渦旋光束攜帶軌道角動量模為l歸一化功率公式(13)，在波束和湍流參數為λ= 1 550 nm，D= 0.05，c=0.1，α=3.37;L0=50 m;ls= 1 mm;z= 2 km 時，主要計算分析各個光束參數和湍流條件對不同模式軌道角動量信號的接收功率和串擾功率的影響．這里及以下所指功率均是歸一化功率．

圖2 不同OAM模的Lommel光束在湍流中傳輸時的接收功率

圖3 湍流各向異性對Lommel光束傳輸時接收功率和串擾功率的影響

圖4 Lommel光束的不對稱參數值c對接收功率和串擾功率的影響

從圖4可看出，不對稱參數c的值越大，軌道角動量模的接收功率就越小，而且串擾概率也越大．當c的值小于0.3時，結果較接近，當c= 0.7時，結果相差的就比較大．因為c是影響Lommel光束橫向強度分布的一個關鍵因素．當c值較小時，光束強度分布接近于圓對稱．隨著c的增加，光束強度分布逐漸偏離圓對稱．這表明近于圓對稱模式下的Lommel光束能更好地減輕湍流的影響．且可發現，Lommel光束在各向異性的大氣湍流中的傳輸性能明顯優于在各向同性湍流中的性能．

圖5 不同湍流強度和譜參數時Lommel光束的接收功率和串擾功率

3 結 束 語

分析了攜帶軌道角動量的非衍射Lommel光束在各向異性的大氣湍流中傳播時，湍流以及光束的一些參數對軌道角動量模的接收功率和串擾功率的影響．不僅考慮了軌道角動量數、湍流強度、冪指數參數α和湍流的各向異性系數的影響，還分析了Lommel光束的不對稱參數對傳輸性能的影響．研究表明，湍流各向異性的系數越大，光束的軌道角動量模的接收功率越大，其串擾概率越小．即對不同強度的湍流，各向異性大氣湍流中的接收功率要高于各向同性的結果．另外，軌道角動量等于5時，接收功率稍大些，還有在弱湍流中，軌道角動量數是奇數時的接收功率稍高于偶數時的情況．對于不同湍流強度的non-Kolmogorov冪指數參數α的變化對接收功率和串擾功率都會有較大的影響．對于不同形狀的Lommel波束，越接近于圓對稱模式時，越能更好地減緩湍流的影響．所以，為了獲得較高的接收功率以及較小的串擾功率，應該選擇不對稱參數值較小的Lommel光束．