星載傘狀可展開天線支撐肋結構優化

王 波，鄭士昆，李洲洋，謝 卓

(1. 西安空間無線電技術研究所，陜西 西安 710100；2. 西北工業大學 機電學院，陜西 西安 710072)

傘狀可展開天線作為一種新型可展開衛星天線結構形式，具有結構簡單、可靠性高、形面精度可調整和制造成本低等優點，近年來成為可展開衛星天線研究的熱點，受到各國航天機構的大力研究[1-2]．文獻[3]提出了一種緊湊的傘狀天線結構，并分析了空間環境下的天線熱變形．文獻[4]建立了大型傘狀可展天線支撐肋自由振動運動方程，并進行了模態分析．文獻[5]建立了傘狀天線反射面索網模型，得到了天線形面誤差的變化規律．文獻[6]分析了在考慮預緊力時，傘狀天線動力學的振動特性．文獻[7]研究了傘狀天線轉動副的可靠性．文獻[8]研究了傘狀天線張力索在溫度及重力作用下的穩定性．文獻[9]運用有限元分析方法對徑向支撐肋進行了熱變形分析．綜上所述，現有研究內容多集中于天線展開原理、整體結構設計及索網分析方面，缺少針對徑向支撐肋的結構優化研究．

徑向支撐肋作為傘狀天線最重要的結構件，同時受到剛度和質量兩方面的約束．支撐肋在反射面和張力索拉力作用下會產生彎曲變形[10]．若減小結構尺寸、減輕質量，會導致支撐肋剛度不足，難以保證反射器形面精度; 增大結構尺寸，增加剛度，減小彎曲變形，會導致質量增加．因此，在進行支撐肋結構設計時，需要研究如何在保證支撐肋剛度、使其不產生過大變形的條件下，盡量減小支撐肋的質量．

為此，需要分析天線工作時支撐肋的受力狀態，采用結構優化設計方法，建立支撐肋結構優化模型，對傘狀天線支撐肋進行結構優化，以獲取滿足要求的優化結構參數，為傘狀天線結構設計提供依據．

1 支撐肋結構及受力分析

傘狀可展開天線主要由安裝在環形基座上的拋物線狀徑向支撐肋、連接相鄰兩肋的柔性張力索以及覆著于張力索上的柔性金屬反射面組成．傘狀天線結構如圖1所示．

圖1 傘狀可展開天線圖2 傘狀可展開天線張力索結構

柔性張力索包括前張力索、后張力索及縱向張力索．前、后張力索兩端固定于支撐肋上，中間通過縱向張力索相連接，如圖2所示．金屬反射面覆著于前張力索上．通過調整張力索的空間位置，可以使反射面近似形成所需的拋物面形狀，以滿足形面精度要求．

圖3 天線支撐肋受力及變形

2 支撐肋結構的優化建模

在張力索集中拉力和反射面均布拉力的作用下，天線支撐肋會產生一定的彎曲變形．若變形量過大，會造成張力索及反射面松弛，導致形面精度下降，使天線無法正常工作[13]．因此，需要在保證支撐肋變形滿足設計要求的前提下，使支撐肋具有盡量小的質量，以滿足航天應用需求．

為使支撐肋具有足夠的剛度，同時考慮方便加工和安裝，通常將支撐肋的截面取為圖4(a)所示的空心矩形．同時考慮支撐肋由根部到端部所受彎矩逐漸減小，可以采用變截面等壁厚的結構形式減輕質量，即支撐肋根部采用較大的截面尺寸，而端部采用較小的截面尺寸，如圖4(b)所示．

圖4 支撐肋結構

根據圖4所示的支撐肋結構，在滿足變形要求的前提下，建立以支撐肋質量最小為優化目標，以支撐肋根部截面高度、根部截面寬度、縱向壁厚、橫向壁厚以及天線端部與根部截面尺寸比值為設計變量的優化模型，其表達式為

(1)

其中，f(x)為支撐肋質量;v(x)為支撐肋單元體積;ρ為支撐肋材料密度;g1(x)為支撐肋端部變形約束;g2(x)為支撐肋端部高方向幾何約束，保證支撐肋端部高方向壁厚;g3(x)為支撐肋端部寬方向幾何約束，保證支撐肋端部寬方向壁厚;δ(x)為支撐肋端部變形; [δ]為支撐肋端部許用變形;x1為肋根部截面高度;x2為肋根部截面寬度;x3為肋根部截面寬方向壁厚;x4為肋根部截面高方向壁厚;x5為肋端部與根部截面尺寸的比值；ai和bi分別為變量xi取值范圍的下限和上限; 設計變量x= (x1，x2，x3，x4，x5)的取值范圍由天線實際結構及需求確定．

3 支撐肋優化模型求解

針對文中所建立的優化模型，分別采用蒙特卡羅法[14-15]和復合形法[14，16]進行優化求解．

3.1 蒙特卡羅法優化求解

采用蒙特卡羅法對支撐肋優化模型進行求解時，需要解決可行初始點選取、可行搜索方向計算和搜索步長取值等關鍵問題．

初始點可在滿足約束條件下采用隨機法產生．基于設計變量xi∈[ai，bi]，i=1，2，…，5，計算xs的各分量:

xi=ai+qi(bi-ai) ，i=1，2，…，5 ，

(2)

其中，qi為在區間(0，1)內的均勻分布的隨機數．

若隨機點xs不滿足約束條件，則需要重新生成隨機數，直至xs滿足約束條件，并將其視作初始點．

在確定可行搜索方向時，采用隨機數rki(k=1，2，…，200，i=1，2，…，5)生成200個隨機單位向量ek，ek可表示為

按步長α0生成200個隨機點，則有

xk=x0+α0·ek，k=1，2，…，200 ．

從xk中找出滿足約束條件的目標函數值最小點的可行點xl，若f(xl)≥f(xs)，則需縮小步長α0，重新生成xk，直至f(xl)

按照可行搜索方向xs→xl，將xl作為新的起始點xs，進行迭代搜索．迭代時步長α按下式計算:αw+1=ταw，其中，αw+1為第w+1 步迭代步長;αw為第w步迭代步長; 初始步長取α0= 0.1;τ為步長系數，加速進時取1.3，加速退時取0.7．

其中，ε1為目標函數值計算精度，取10-6;ε2為設計變量計算精度，取10-3．

3.2 復合形法優化求解

采用復合形法進行優化求解的關鍵是解決初始復合形構建和復合形搜索方法問題．

取復合形頂點數n為優化變量數加1，即n=6．產生初始復合形時給定1個可行頂點，并采用式(2)所示的隨機法產生其余n-1 個頂點．對于隨機點中的非可行頂點xp按式(3)反復變換，直至滿足約束條件，生成初始復合形，即

xp=xo+0.5(xp-xo) ，p=1，2，…，m,

(3)

其中，m為非可行頂點數，xo為所有可行頂點的幾何中心．

利用反射法進行復合形形狀優化時，首先，要計算并比較復合形各頂點的目標函數值，尋找最壞點xh，即

f(xh)=max{f(xq)，q=1，2，…，n} ．

然后，計算除點xh外的其余頂點的中心點xc，以xh→xc為搜索方向，尋找反射點xr，即

xr=xc+αt(xc-xh) ,

其中，αt為反射系數，此處取αt=1.3．

通過不斷調整反射系數αt的取值，尋找反射點xr，直到滿足反射成功條件:

當復合形所有頂點與中心點的均方差滿足

(4)

收斂條件時，迭代結束．其中，xd為復合形n個頂點的幾何中心;ε3為目標函數值計算精度，取10-6．

4 優化計算結果及分析

天線支撐肋采用碳纖維材料，材料密度ρ=1.8×10-3g/mm3，彈性模量E= 9.0 GPa．支撐肋原始結構數據如表1所示．

表1 支撐肋結構參數mm

基于表1數據計算，得到支撐肋質量為691.8 g．考慮天線支撐肋實際工作情況，忽略重力影響，計算在給定載荷下的端部變形為 2.98 mm．因此，限定優化模型中肋端部可用變形量近似為 3.0 mm．考慮天線支撐肋強度條件、支撐肋間互不干涉條件、碳纖維加工工藝以及實際裝配要求等約束，確定優化模型中各參數取值范圍如表2所示．

表2 支撐肋參數取值范圍mm

采用與原始結構相同的載荷，基于表2給定的優化變量取值范圍，分別用蒙特卡羅法和復合形法分別對支撐肋結構參數進行優化．為了對比分析，增加了對x5= 1.0時的等截面支撐肋結構優化算例．計算結果如表3所示．

表3 支撐肋結構優化結果

對比表3的支撐肋優化結果與表2給定的變量取值范圍可以發現，在進行支撐肋結構優化時，不論采用等截面優化還是變截面優化，肋根部截面寬度x1、肋縱向壁厚x3和肋橫向壁厚x4都取到了取值范圍的下限，而肋根部截面高度x2則取到了較大的值．這表明寬度和壁厚對于支撐肋抵抗彎曲變形的能力貢獻不大，截面高度才是影響支撐肋抵抗彎曲變形能力的關鍵因素．要增強支撐肋的彎曲剛度，首先應考慮增加肋的截面高度; 同時，在滿足結構和功能要求的前提下，盡量減小寬度和壁厚以減輕質量．

從表3數據可以看出，優化后支撐肋的質量明顯減輕:采用等截面結構優化后，支撐肋質量較優化前減少了約38.770%; 采用變截面結構優化后，支撐肋質量較優化前減少了約50.410%．相比等截面結構形式，采用變截面結構優化的效果更為理想，在進行結構設計時應優先考慮．

從表3的計算結果可以看出，蒙特卡羅法和復合形法優化計算結果是一致的．兩種優化方法的計算收斂過程分別如圖5和圖6所示．分析收斂過程可以發現，蒙特卡羅法在計算過程中迭代誤差有振蕩現象，直到 938 s 才得到計算結果; 復合形法的迭代誤差則持續收斂，在 167 s 時就獲得了優化結果．相比蒙特卡羅法，復合形法表現出更快的收斂速度和更強的穩健性．因此，對于此類結構進行優化時，應優先選用復合形法進行問題求解．

圖5 蒙特卡羅法計算收斂過程圖6 復合形法計算收斂過程

5 結 束 語

文中以傘狀可展開天線支撐肋為研究對象，通過對支撐肋的結構和受力分析，建立了支撐肋優化設計模型，并通過研究兩種優化求解算法，得到了優化設計結果．通過分析可以看出，優化后支撐肋減重效果較為顯著．通過對結構參數優化結果的分析發現:增加支撐肋截面高度和采用變截面結構是支撐肋優化的主要方向．文中的優化方法也可以為其他同類型結構件的優化設計提供有益的借鑒和參考．