一種新的稀疏重構的DOA估計算法

韋 娟，計永祥，牛俊儒

(西安電子科技大學 綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室，陜西 西安 710071)

波達方向(Direction Of Arrival， DOA)[1-2]估計作為陣列信號處理中的一個重要研究分支，被廣泛地應用于雷達、無線通信和聲納等諸多領域．高分辨性能始終是DOA估計算法研究的重點[3-4]，常用的子空間分解類算法要想發揮出其高分辨的測向能力，需要已知信源個數的先驗信息和信源之間的非相干性，而子空間擬合類算法會產生巨大的運算量．

近年來，隨著稀疏重構算法研究的不斷深入，基于信號空域稀疏性的DOA估計得到了廣泛關注和研究．最具代表性的是文獻[5]提出的l1-奇異值分解(l1norm-Singular Value Decomposition，l1-SVD)算法，通過SVD技術降低運算量，但該算法采用l1范數來逼近l0范數近似求解，恢復信號中稀疏矩陣的大系數會受到較大的權值懲罰，解矢量的稀疏性難以保證，會導致信號恢復的空間譜中出現較多偽峰．為此，一些學者利用加權l1范數來對l0范數進行逼近處理，使得到的解矢量更具有稀疏性．文獻[6]采用SVD對陣列輸出數據的協方差矩陣進行分解，獲得噪聲子空間與信號子空間．利用兩者之間的正交性設計權值，在l1-SVD算法模型的基礎上通過加權求解得到信源DOA估計．然而文獻[7]指出噪聲子空間的欠估計和過估計都會影響權值的計算，提出由空間傅里葉變換得到空間譜選取加權矢量，解決了空間估計不準確問題，但該算法的權值矢量受信噪比的影響較大．文獻[8]提出多重信號分類(MUltiple SIgnal Classification，MUSIC)譜函數加權因子進行求解，獲得較好的DOA恢復性能，但此算法是基于信號子空間設計權值，需要保證信號的非相干性和準確的信源數目．

為解決低信噪比和低快拍數情況下l1-SVD算法出現較多偽峰導致DOA估計不準確的問題，筆者先對所選取的Capon[9]算法進行改進，然后提出一種新的基于改進Capon算法的加權l1范數的稀疏重構DOA估計算法．與現有的算法相比，在信源相干性和數目都未知的情況下，文中算法在低信噪比和低快拍數下仍具有準確的DOA估計值．

1 信號模型

假設空間中存在K個遠場窄帶信號s1(t)，s2(t)，…，sK(t)分別以角度θ1，θ2，…，θK入射到M(M>K) 個陣元的均勻線陣上，快拍數為T，則陣列信號接收數據可用稀疏表示為

X=AS+N，

(1)

其中，A=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θN)]，a(θ)= [1，exp(jπ sinθ)，…，exp(jπ(M-1) sinθ)]T，A為M×N維陣列流行矩陣；S= [s1(t)，s2(t)，…，sN(t)]T，為N×T維稀疏解矩陣，其中，N為空間稀疏劃分網格數；X= [x1(t)，x2(t)，…，xN(t)]T，為M×T維陣列輸出數據矩陣；N= [n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T，為M×T維的噪聲矩陣；A陣中包含所有可能的角度信息，并不依賴于實際信號，若找出S中的非零元素就可以確定信源的DOA估計值，因此，上述問題就轉化為式(1)的稀疏重構問題．

2 加權l1-SVD算法原理

l1-SVD算法是結合SVD和l1范數優化兩種方法進行多快拍數下信源的DOA估計．然而在l1范數優化問題中，恢復信號中的各系數得不到同等懲罰，導致最優解的稀疏性得不到保證[10]．因此，筆者先對Capon算法進行改進，采用基于改進Capon(Modified Capon， MCapon)算法的倒譜系數來設計權值矩陣，通過對l1范數優化問題進行加權約束，提出一種基于MCapon倒譜的加權l1-SVD算法(l1-SVD-MCapon)．

2.1 MCapon算法

空間平滑技術[11]可以準確地求出數據協方差矩陣的秩，達到恢復相干信源DOA的目的．但由于該技術只利用了較少的陣元數，導致陣列有效孔徑減小，陣列波束寬度增大，從而降低了角度分辨率．因此，若采用前后向空間平滑技術，當取子陣元數等于總的陣元數時，就能解決此問題．前向陣列的輸出數據的協方差矩陣可表示為

Rf=E[x(t)xH(t)]=ARsAH+δ2IM．

(2)

(3)

則總的協方差矩陣可表示為

Rfb=(Rb+Rf)/2 ．

(4)

將式(4)中的Rfb代入Capon算法的空間譜函數，可得到MCapon算法的空間譜函數表達式為

(5)

式(5)中的空間譜函數在低信噪比或快拍數較少時，Rf和Rb對有限快拍數的數據進行估計，存在一定的誤差，用Rfb代替其值可提高陣列對信源的DOA估計精度．相比傳統的Capon算法，MCapon算法在保證信源方向功率不變的情況下，能減少其他方向的輸出功率．因此，在低信噪比的情況下，能得到更準確的空間譜函數．另外MCapon算法在不影響對非相干信源DOA正常估計的前提下，提高了相干信源DOA的估計性能，能夠有效地處理相干信源帶來的多徑干擾問題．

2.2 l1-SVD-MCapon算法

l1-SVD算法采用SVD技術得到降維后的陣列接收模型為

兩極化——中大型軟件平臺向行業化應用垂直深入，整合的功能和業務越來越豐富；中小型軟件平臺向輕量化應用演變，界面功能和交互操作越來越簡捷。這兩個看似矛盾的方向，根本上是為解決不同用戶的需求，本質上都是依托先進強大的底層架構。

XSV=ASSV+NSV,

(6)

其中，XSV=ULDK=XVDK，其維度為M×K，DK= [IK，0]T，IK為K×K維單位矩陣，0為K× (T-K) 維零矩陣．類似地，可令SSV=SVDK，NSV=NVDK．

由文獻[12]的結論可知，通過SVD降維后的模型保持了原模型的稀疏性及稀疏結構，并不影響其對信源方位角的估計．并且經過SVD分解得到的信號子空間中，多快拍數據中信號能量得到累計，能更加有效地估計信源DOA．

將MCapon算法空間倒譜系數矢量表示為

(7)

(8)

當快拍數T→∞時，權值矩陣矢量H1中的元素H1，i→0，權值矩陣矢量H2中的元素H2，i→0．由此可知，文中設計的權值矩陣符合加權l1范數思想．

據此，基于稀疏重構的加權l1范數約束問題模型可表示為

(9)

步驟1 由均勻線陣模型獲得遠場窄帶信號數據矩陣X，采用等角度劃分得到稀疏矩陣A．

步驟2 根據式(2)和式(3)分別計算出前向和后向陣列輸出數據的協方差矩陣Rf和Rb，由式(4)得到總的協方差矩陣Rfb．

步驟3 將Rfb代替傳統Capon算法中的R，可得MCapon算法的空間譜函數PMCapon．

步驟4 根據式(7)和式(8)計算得到權值矩陣W，SVD降維后獲得信源模型XSV=ASSV+NSV．

步驟5 設置參數β，基于稀疏重構的加權l1范數稀疏重構求解，搜索其譜峰所在位置即可得到信源DOA估計值θ．

3 算法分析

4 仿真實驗

為了驗證筆者提出算法的DOA估計性能，選取MUSIC算法、l1-SVD算法與l1-SVD-MCapon算法進行對比．假設有3個遠場窄帶信號從3個不同角度入射到8個陣元的均勻線陣上．陣元間距為半波長．角度變化范圍為 -90°～ 90°，間隔為0.1°，置信概率p設為0.999．MUSIC算法不能處理相干信源，故在相干信源實驗圖中僅作為參照．

實驗1 3種算法在低信噪比下非相干信源與相干信源的DOA估計性能對比．其中快拍數為200，信噪比為 0 dB，其入射角的角度值分別為 -10°、20°和30°，仿真結果如圖1和圖2所示．從圖1分析可知，MUSIC算法相對l1-SVD-MCapon算法和l1-SVD算法其分辨率較低．而圖2中 -10° 和20°的信號是相干的，MUSIC算法不能辨別出相應的DOA值．無論是相干信源和非相干信源到達時，l1-SVD都會產生較多的偽峰，而l1-SVD-MCapon算法在低信噪比下能夠有效抑制偽峰的出現，并能準確地獲得DOA估計值．

圖1 低信噪比下3種算法的非相干信源空間譜圖圖2 低信噪比下3種算法的相干信源空間譜圖

實驗2 3種算法在低快拍數下非相干信源與相干信源的DOA估計性能對比．其中快拍數為20，信噪比為 5 dB，其入射角的角度值分別為 -10°、20°和30°．圖3和圖4分別給出低快拍數下非相干和相干信源的DOA估計空間譜．分析可知，l1-SVD-MCapon算法在快拍數較低的情況下仍能精確地估計出DOA值．在圖3中，MUSIC算法的估計性能較差；而在圖4中，角度值為 -10° 和20°的信號是相干的，MUSIC算法幾乎不能估計出方向．在圖3和圖4中，l1-SVD算法的空間譜中都出現較多的偽峰，DOA估計性能也嚴重不足．

實驗3 在不同信噪比和不同快拍數下，3種算法的DOA估計值的相位均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)曲線圖對比．假設3個非相干遠場窄帶信號的方位角分別為 -20°、10°和25°，蒙特卡羅次數為100次．圖5給出的RMSE隨信噪比的變化情況，采樣快拍數設置為200，信噪比為 -10～ 20 dB，間隔為 5 dB．可以看出，在信噪比較低的情況下，l1-SVD-MCapon算法的測向精度高于其他兩種算法的; 圖6給出的RMSE隨快拍數的變化情況，信噪比設為 0 dB，采樣快拍數為 50～ 500，間隔為50．分析可知，當快拍數較少時，l1-SVD-MCapon算法的DOA估計性能優于MUSIC算法和l1-SVD算法的．由此可以看出，筆者提出算法的穩健性優于其他兩種算法的．

圖3 低快拍數下3種算法的非相干信源空間譜圖圖4 低快拍數下3種算法的相干信源空間譜圖

圖5 不同信噪比下3種算法的DOA估計RMSE圖6 不同快拍數下3種算法的DOA估計RMSE

圖7 不同預測信源數目下l1-SVD-MCapon的空間譜圖

實驗4l1-SVD-MCapon算法在未知信源個數先驗信息情況下的DOA估計性能．實驗中信源個數為3，其入射角的角度值分別為 -35°、10°和25°，并且都是非相干信源，信噪比設為 5 dB，快拍數為100，仿真結果如圖7所示．在未知信源個數的情況下，l1-SVD-MCapon算法的DOA估計性能并未受到影響，且具有較高的測向精度．這是因為MCapon算法在計算權值時不會受到信源數目的影響，從而能給出相對公平的權值懲罰．

5 結 束 語

該文提出基于MCapon算法的倒譜函數來設計權值，不但繼承了Capon算法尖銳的峰值和信噪比好的特點，而且能較好地處理相干信源帶來的多徑干擾問題，也解決了相關學者提出的噪聲子空間欠估計與過估計問題．仿真實驗表明，在低信噪比或快拍數較少的情況下，所提算法能夠較好地抑制空間譜偽峰的出現，同時在處理相干信源和未知信源數目的DOA估計中也具有良好的性能．在運算復雜度沒有較大增加的情況下，該算法的穩健性和正確性均優于MUSIC算法和l1-SVD算法的．