一種相位編碼信號和失配濾波器聯合優化方法

徐磊磊，周生華，劉宏偉，馬 林

(1. 西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室，陜西 西安 710071；2. 西安電子科技大學 信息感知技術協同創新中心，陜西 西安 710071)

雷達發射波形通?？梢杂绊懙嚼走_系統的定位精度[1]、分辨率[2]和抗干擾性能[3]等，因此波形設計一直是雷達信號處理研究的熱點之一．脈沖壓縮方法是雷達領域的一項重要技術，但信號脈壓后通常會產生距離旁瓣電平，高的距離旁瓣電平一方面可能會觸發虛警，產生虛假目標;另一方面，在對弱小目標進行檢測時，可能會造成漏警，特別是在多目標或強雜波的背景下，因為強目標回波信號脈沖壓縮后的高旁瓣電平可能會覆蓋弱小目標回波脈沖壓縮后的峰值．因此，對于脈沖壓縮雷達，降低發射波形脈沖壓縮后的距離旁瓣電平是非常有意義的研究方向．

雷達發射電路中的放大器通常工作在飽和狀態，因此要求發射信號是恒模信號．相位編碼信號是一種常見的恒模信號，具有測量精度高和抗干擾性好等優點[4]，在多輸入多輸出雷達領域受到廣泛關注[5-7]，具有廣闊的應用的前景．由于恒模的約束，相位編碼信號設計是非凸的優化問題，不同的優化算法可能獲得不同的局部最優解．為了獲得低距離旁瓣電平的相位編碼信號，首先，可以根據應用背景和代價函數的特點，選擇好的優化算法來降低脈沖壓縮后的距離旁瓣電平[5-7]; 其次，可以在編碼信號已知的條件下，設計失配濾波器來抑制失配濾波器輸出的距離旁瓣電平[8-9]; 另外，也可以通過增加相位編碼信號的碼元個數來降低距離旁瓣電平．但是，在給定發射信號持續時間的條件下，對于傳統的相位編碼信號，增加碼元個數會帶來更高精度的距離分辨率(由于帶寬的增加)．在實際應用中，所需要的距離分辨率隨著應用場景不同而不同，在保持所需要的距離分辨率的條件下，使用更多的自由度去降低距離旁瓣電平是一種更加有效、合理的方法．因此，文獻[10]在給定發射信號持續時間和需要的距離分辨率的條件下，使用兩種方法來降低距離旁瓣電平: 一是增加相位編碼信號的碼元個數，同時展寬主瓣寬度來保持所需要的距離分辨率; 二是基于方法1優化獲得的相位編碼信號，設計失配濾波器來進一步壓縮距離旁瓣電平．需要注意的是:文中稱文獻[10]中的寬主瓣相位編碼信號為恒定主瓣相位編碼信號;文中所提的恒定主瓣相位編碼信號的帶寬并不約等于子碼元時寬的倒數，但是此類信號并不違背距離分辨率和帶寬的關系;文獻[10]獲得的恒定主瓣寬度的編碼信號和失配濾波器是分開優化的，損失了部分優化自由度．

為了進一步降低距離旁瓣電平，關鍵是尋找更多的自由度．因此，筆者提出了一種恒定主瓣寬度的相位編碼信號和失配濾波器聯合優化方法．首先，在給定發射信號持續時間和需要的距離分辨率的條件下，以控制失配濾波器輸出的主瓣形狀，約束信噪比損失和最小化峰值旁瓣電平(Peak Sidelobe Level， PSL)為目標，構建聯合優化準則;然后，將帶約束且非光滑的聯合優化模型進行轉化; 最終利用最小p范數算法[11]進行求解，并將L-BFGS(Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb and Shannon)算法[12]作為其子算法．

1 信號模型

假設雷達發射信號s∈CNs×1，是一個碼元長度為Ns的相位編碼信號，回波信號經長度為Nh的失配濾波器h∈CNh×1(Nh≥Ns)濾波，輸出的結果在距離位移k處的表達式[6]為

(1)

其中，(·)*表示取共軛，ω(k)(k≠0)表示失配濾波器輸出的旁瓣，ω(0)表示失配濾波器輸出的主瓣．相位編碼信號s和失配濾波器h的第n個元素分別為

其中，φ為相位編碼信號s的相位向量，即s=exp(jφ)，j=(-1)1/2，a和θ分別為失配濾波器h的幅度向量和相位向量，即h=a⊙exp(jθ)，⊙為Hadamard積．

給定雷達發射信號持續時間的條件下，假設雷達發射端能夠發射Ns個碼元．接下來需要做的是:利用這Ns個碼元去匹配給定的距離分辨率．首先，對于傳統相位編碼信號，距離分辨率可表示為 ΔR=cT/ (2Ns)，c表示光速，T表示發射信號持續時間．假設實際所需要的距離分辨率 ΔRd=cT/ (2N1)，N1(Ns≥N1)為雷達發射碼元的個數．此時，距離分辨率增加的倍數可表示為

g=(ΔRd-ΔR)/ΔR=(Ns-N1)/N1．

(4)

為了使聯合優化方法得到的距離分辨率與所需要的距離分辨率相同，將相位編碼信號經失配濾波器輸出的主瓣進行展寬，即通過調節失配濾波器輸出的主瓣寬度來控制帶寬，間接地實現調節距離分辨率的目的．假設將ω(k)，k=0，±1，±2，…，±M作為主瓣區域，M為主瓣寬度控制參數，可表示為

M=ceil(g) ,

(5)

其中，ceil(·)表示朝正無窮大取整．為了有效控制主瓣形狀，假設p∈C2M+1，為期望的主瓣(在實際應用中，可以根據不同的應用需求，選擇不同函數的主瓣作為期望的主瓣)．基于上述主瓣展寬原理的描述，失配濾波器輸出的主瓣區域和旁瓣區域分別可以表示為

ωmain=[ω(-M)，ω(-M+1)，…，ω(M)]T,

(6)

其中，(·)T表示轉置．為了聯合優化恒定主瓣寬度的相位編碼信號和失配濾波器，3個主要方面需要考慮:

(8)

(2) 信噪比損失約束．在實際應用中，如果信噪比損失過大，會影響到雷達的探測性能，定位精度等．為了避免信噪比損失過大，提出一個簡單但有效的方法來約束信噪比損失．首先，信噪比損失的表達式[13]為

SSNRloss=10 lg[NshHh/(ωH(0)ω(0))] ,

(9)

其中，(·)H表示共軛轉置．首先，令ω(0)=Ns，隱含的物理意義是相位編碼信號經失配濾波器輸出的峰值等于其經過匹配濾波器輸出的峰值，因此，式(9)信噪比損失的表達式可簡化為

SSNRloss=10 lg (hHh/Ns) ．

(10)

由式(10)可知，信噪比損失隨著hHh減小而減少．由于假設ω(0)=Ns是一個非凸的約束，在優化過程中很難操作．因此，提出通過同時最小化|ω(0)-Ns|和|hHh-Ns|的方法來控制信噪比損失，并且在仿真實驗中驗證了該方法的有效性，|·|表示取模值．因此，通過以下兩個約束控制信噪比損失:

(11)

其中，α1和α2是預先設定的正實數來間接的控制信噪比損失．

(3) 主瓣形狀控制．假設向量e為設計的主瓣與期望主瓣匹配誤差向量，第m個元素可表示為

e(m)=ω(m-M-1)-p(m) ,

(12)

(13)

結合式(8)，式(11)和式(13)，筆者提出的聯合優化準則可以表示為

(14)

其中，λ1為預先設定的權系數，用來權衡主瓣逼近程度和旁瓣壓縮性能，由于向量e包含ω(0)-Ns，所以將式(11)第2個約束省略了．另外，文中后續仿真實驗中使用歸一化的PSL作為聯合優化輸出旁瓣電平的衡量指標，其定義為

(15)

2 模型轉化及求解

(16)

(17)

其中，向量x是由向量φ，a和θ按順序構成的列向量，即φ=[x(1)，x(2)，…，x(Ns)]T，a= [x(Ns+1)，x(Ns+2)，…，x(Ns+Nh)] 和θ= [x(Ns+Nh+1)，x(Ns+Nh+2)，…，x(Ns+ 2Nh)]T．文中使用最小p范數優化算法來優化式(16)，具體流程[11]如下所示:

(1) 選取起始值x0和ε，并設i=1，p=2，μ=2，f0=1 000;

(2) 將xi-1作為第i次迭代的初始值，采用L-BFGS算法[12]來最小化f(x)，獲得向量xi，令fi=f(xi);

(3) 若|fi-1-fi|≤ε，則獲得向量xi并終止; 若 |fi-1-fi|>ε，則令p=μp，i=i+1，然后轉到步驟(2)．

L-BFGS算法首先利用線搜索的方法來確定步長，然后利用相鄰m次迭代函數的一階梯度信息來估計海森矩陣，而且不用求海森矩陣的逆矩陣，相對于牛頓法，計算量小、求解速度快，所以文中選用L-BFGS算法來最小化f(x)．限于篇幅原因，L-BFGS算法具體步驟見文獻[12]．

最小p范數優化算法的計算量主要來源于步驟(2)，使用L-BFGS算法求解步驟(2)時，主要計算量是每次迭代中計算目標函數f(x)和目標函數的一階偏導f(x)，其中，為求偏導符號．為了便于表示，只考慮復數乘法的復雜度．計算目標函數f(x)和一階偏導函數f(x)分別需要O((Ns+Nh)(p+ lb(Ns+Nh))+pNh) 和O(p(Ns+Nh))次復數乘法操作．

3 仿真實驗

假設相位編碼信號碼元長度Ns=256，失配濾波器長度Nh=512，發射信號持續時間T= 64 μs，采樣頻率為 12 MHz，若無特殊說明，式(16)中的參數λ1= 0.35，λ2= 0.1．為了匹配期望的主瓣形狀(即保持恒定的主瓣形狀)，首先根據式(18)設計碼元長度N1= 64的常規相位編碼信號s1，然后將相位編碼信號s1脈沖壓縮后主瓣作為期望的主瓣p．

(18)

圖1 不同初始值優化結果

其中，φ1為相位編碼信號s1的相位向量，即s1=exp(jφ1)，Jr為轉移矩陣[6-7]．式(18)的求解方法與式(16)類似，這里不再具體給出．在給定雷達發射信號持續時間的條件下，根據式(5)，可得M=3．L-BFGS算法的更新數目m=5，最小p范數優化算法終止條件有兩個:最大迭代次數為 5 000;相鄰兩次迭代目標函數差值ε≤ 10-10．

在參數λ1=0.35，λ2=0.1條件下，圖1給出了隨機選取100次初始值的優化結果，從圖中可以看出，不同初始值對優化結果影響較大，這主要是因為聯合優化函數是非凸的優化問題，不同初始值可能導致收斂到不同的局部最小值．因此，文中在不同參數仿真實驗中，若無特殊說明，均隨機選取了100次初始值，選取最低的PSL作為最終的結果．

表1為式(16)在碼元長度Ns=256，失配濾波器長度Nh=512條件下，不同λ1和λ2條件下的優化結果．由表1可知，通過調節參數λ1和λ2，可以實現同時最小化|ω(0)-Ns|和|hHh-Ns|，進而可以有效地控制信噪比損失，驗證了筆者提出的控制信噪比損失方法的有效性．

表1 不同參數條件下優化結果

圖2為筆者所提方法輸出的主瓣 (3 dB 寬度)區域幅值，文獻[10]中分開設計相位編碼信號和失配濾波器輸出的主瓣區域幅值和期望主瓣區域幅值的對比圖，其中，文獻[10]中方法1是設計恒定主瓣寬度的相位編碼信號，方法2是給定方法1獲得的信號，設計相應的失配濾波器;另外，圖2給出了碼元長度Ns= 256的隨機相位編碼信號的主瓣，其相位是在[0，2π]均勻分布的隨機相位．由圖2可知，與文獻[10]中兩方法設計的主瓣效果類似，所提方法的主瓣和期望的主瓣基本重合;而且，在發射信號時寬和碼元長度相同的條件下，所提方法設計的主瓣寬度比隨機相位編碼信號的主瓣寬．

圖2 主瓣區域幅值曲線圖3 主瓣區域相位曲線

圖3為筆者所提方法輸出的主瓣區域相位和文獻[10]中兩方法輸出的主瓣區域相位的對比圖．由圖3可知，所提方法設計的主瓣區域的相位波動范圍比文獻[10]中的方法1小，但比文獻[10]中的方法2大．在多脈沖進行相干積累時，相位波動越小，越有利于相干積累．雖然所提方法設計的主瓣區域相位波動范圍比文獻[10]中的方法2大，但由于其波動范圍非常小(最大相位波動為0.009°)，對多脈沖相干積累造成的性能損失是非常小的．

表2 不同方法優化結果

圖4 功率譜對比圖

表2為筆者所提方法輸出的旁瓣電平，文獻[10]中兩方法輸出的旁瓣電平和式(18)設計的常規相位編碼信號s1脈沖壓縮結果的對比圖．由圖2和表2可知，在主瓣寬度基本相同的條件下，所提方法輸出的PSL比文獻[10]中方法1輸出的PSL降低了 10.72 dB; 另外，在信噪比損失 (0.09 dB) 相同的條件下，比文獻[10]中方法2輸出的PSL降低了 4.77 dB．圖4為所提方法輸出的功率譜和相位編碼信號s1的功率譜對比圖．給定T的條件下，增加碼元個數雖然會導致每個子碼元寬度變窄(此時常規的相位編碼信號帶寬會增大)，但是通過筆者所提的設計方法，輸出端的帶寬可以保持不變(即距離分辨率保持不變)，圖4驗證了所提方法的有效性．另外，結合圖2和圖4可知，控制失配濾波器輸出的主瓣寬度可以有效地控制輸出端的帶寬．

表3為所提方法設計的相位編碼信號s和失配濾波器h在不同濾波器系數長度和信噪比損失條件下輸出的結果．從表3可以看出，在主瓣寬度基本相同的條件下，失配濾波器系數長度越長或信噪比損失越大，失配濾波器輸出的峰值旁瓣電平就越低．在實際應用中，如果失配濾波器系數長度過長，則會增加雷達系統實現的復雜度;如果信噪比損失過大，則會嚴重影響到雷達探測威力、參數估計精度等．因此，根據不同的應用需求和實際雷達系統的限制，需要綜合考慮這兩方面的影響．

表3 不同濾波器系數長度和信噪比損失條件下的優化結果

圖5為所提方法輸出的時延-多普勒響應圖．由圖5可以看出，在零多普勒通道有比較深的“溝壑”; 一旦多普勒失配，旁瓣電平會迅速升高．圖6為所提方法輸出的PSL隨多普勒頻率(多普勒失配)的變化曲線．從圖6可以看出，當多普勒失配頻率 |Δfd|Ns≤1 時，隨著|Δfd|的增加，PSL逐漸升高; 當多普勒失配頻率 |Δfd|Ns>1 時，隨著|Δfd|的增加，PSL在一定范圍內呈現不規則振蕩．結合圖5和圖6可知，所提方法設計的相位編碼信號s和失配濾波器h對多普勒頻率是非常敏感的，這是因為筆者所提的聯合優化準則中沒有考慮多普勒失配的影響．為了降低多普勒失配造成的旁瓣電平升高的影響，一方面可以在接收端采用不同多普勒調制的濾波器組對回波信號進行補償[7]; 另一方面，可以設計具有期望形狀的模糊函數[14]．

圖5 時延-多普勒響應圖圖6 PSL隨多普勒頻率變化曲線

4 結 束 語

筆者提出了一種恒定主瓣寬度的相位編碼信號和失配濾波器聯合優化的方法，用于進一步降低距離旁瓣電平，進而提高雷達的探測性能和參數估計精度等．在給定發射信號持續時間和實際需要的距離分辨率的條件下，以控制失配濾波器輸出的主瓣形狀，約束信噪比損失和最小化PSL為目標，構建聯合優化準則; 然后，基于罰函數法和p范數理論，將帶約束并且非光滑的優化問題進行轉化; 最后，使用最小p范數算法進行求解，并將L-BFGS算法作為其子算法．仿真結果驗證了所提方法的有效性．實際環境中，可能會存在雜波、干擾等不利因素，這些因素均會影響到失配濾波器輸出的旁瓣性能，該方面需要進一步研究．