三次Cardinal樣條插值函數的改進及其性質

楊 虹

（黑龍江科技大學 理學院，黑龍江 哈爾濱 150022）

數控加工的效率會直接影響到加工企業的經濟效益，因此，在實際生產和生活中提高加工效率具有十分重要的意義。在機械加工中，數控加工的路徑往往較為復雜[1]。近年來，帶有參數的有理形式的Hermite插值樣條引起了不少學者廣泛的興趣[2]。但這些插值樣條不能精確表示二次曲線和工程上常用的曲線[3]。還有學者提出了B樣條函數和NURBS函數等，這些函數曲線都較為光滑，但使用時也存在著一些局限性，如求導次數增加、權因子選取等[4]。同時它們都無法實現曲線的調形功能，限制了控制曲線的靈活性[5]。數控加工中，加工曲面有簡單規則的曲面，也有復雜曲面[6]。對于加工曲面簡單規則時，通常考慮優化螺旋曲線走刀的位點，而無法通過位點獲得優化曲線[7]。對于復雜曲面加工時，對每一條待加工曲線都采用從靜止加速到目標速度，并在該段終點拐角處減速到零的方法，這樣以零速度通過相鄰加工段的拐角來避免對機床形成過大沖擊[8]。然而，現有的三次樣條函數只能夠實現鈍角、直角情況下外輪廓拐角的加工路徑優化，還無法實現銳角情況下外輪廓拐角的加工路徑優化問題。這些問題嚴重影響了零件加工效率。

本文針對樣條插值函數曲線靈活性不足的問題，在3次Cardinal樣條插值函數的基礎上，提出加入多參數的3次Cardinal樣條插值曲線的構造方法。通過多參數的調節，可以靈活地描述自由曲線。

1 改進3次Cardinal樣條插值函數

在平面上選取4個控制點，設點的坐標為Pk=(xk,yk)，k=0,1,2,3。將曲線分為3段，設第2段的函數：

是由Pk，Pk+1兩端點及相鄰兩個控制點Pk－1，Pk+2確定的函數。u為自變量，A，B，C，D為待定系數。設在控制點Pk和Pk+1處的切線斜率分別與直線的斜率成正比。4個控制點之間的多參數Cardinal樣條曲線滿足邊界條件：

對3次樣條函數（1）式求導，得到：將式（2）中的邊界條件代入式（1）和式（3），得到：

因此，滿足邊界條件（2）的第2段的多參數Cardinal樣條插值函數表達式為：

加工工件時，外輪廓轉角處插入轉接曲線，曲線是由控制點列（p1，p2，p3，p4）生成的多參數Cardinal樣條插值曲線，p1在平滑處理前的刀具加工段上，p2，p3分別為兩條加工段與轉角更接近的點，p4在轉角之后的加工段上，此4點構成梯形。刀具加工時，要求轉接曲線的起始端點向量方向與前一段的運動方向一致，而終止端點向量方向與下一段的運動軌跡相同，從而使得轉角運動軌跡具有較好的連續性，完成對數控加工路徑拐點的平滑過渡。通過改變參數的值，來改變轉接曲線的幾何形狀。

2 多參數3次Cardinal樣條插值函數的性質

當a，b，c，d相等時，函數（5）就是一般的Cardinal樣條插值函數。

當a=c且b=d時，若曲線P(u)是由n－1段3次Cardinal樣條曲線Pi(u)i=1,2,3,…,n－1構成的，則P(u)∈C1連續。

對于第i段曲線Pi(u)有：

對于第i+1段曲線Pi+1(u)有

因此，第i段曲線Pi(u)與第i+1段曲線Pi+1(u)有如下關系：

故當a=c且b=d時，P(u)∈C1連續。

當a，b，c，d取任意值時，由多參數3次Cardinal樣條插值函數的定義可知，采用多參數的形式來表示3次Cardinal樣條插值曲線，這使得曲線的狀態與所選擇的坐標系沒有關聯，故3次樣條插值曲線具有幾何不變性。同時，每一段多參數3次Cardinal樣條插值函數曲線只與相鄰的4個控制點有關，其他控制點的變化不能引起該段多參數3次Cardinal樣條插值函數曲線的改變。因此，多參數3次Cardinal樣條插值函數曲線具有一定的局部性。由于多參數3次Cardinal樣條插值函數中含有多個參數，因此，當選擇合適的參數以及4個控制點時，多參數3次Cardinal樣條插值函數曲線既能方便地表示直線、圓弧等，也可以精確地表示其他自由曲線。由此可知，多參數3次Cardinal樣條插值函數曲線具有靈活性。

3 結語

本文針對樣條插值函數靈活性的問題，構造了多參數Cardinal樣條插值函數。當參數取不同值時，其具有連續性、靈活性等特點。在控制點不變，增加調節參數的個數時，顯然插值函數曲線的靈活性更好。但今后能否找到計算更簡便，在運用更少參數的同時能夠靈活地描述自由曲線，是十分值得探討的問題。