“遍地開花”的“一線三等角”

張曉紅

摘要：相似三角形在初中數學中有著舉足輕重的地位，它涉及的知識點多，有很重要的實用價值，它與人類的生產和生活有著廣泛的聯系，如測量、繪圖、電影、照相等都涉及相似形的知識；相似知識為證明角相等、求線段的長提供了不可或缺的橋梁。相似三角形靈活性強，成為眾多出題者追捧的對象。而作為證明相似的一種重要方法——“一線三等角”又是證明相似的一種常用的手段。本文通過闡述“一線三等角”在相似三角形判定中的重要作用，從而引導學生逐步掌握利用基本數學模型來描述和分析問題，建立幾何直觀，找到常用的分析問題的方法。

關鍵詞：相似三角形；一線三等角；基本模型

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）06-0086

根據《數學課程標準》對核心概念的解讀：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。把讓學生掌握一些重要的圖形作為教學任務，貫穿在義務教育階段數學教學、學習的始終。在教學中要有意識地強化對基本圖形的應用，不斷地運用這些基本圖形去發現、描述問題，理解、記憶結果，這應該成為教學中關注的目標。相似三角形在初中幾何直觀的教學中不可小覷，而作為“一線三等角”這個基本模型為證明三角形相似起到了舉足輕重的作用，在很多的中考考題中常有涉及和滲透，在數學考卷中幾乎是“遍地開花”……

本文基于平時教學實踐中對相似三角形中“一線三等角”這一基本圖形的提煉、應用、感悟，進而拓展使之升華，將復雜問題簡單化，使學生能抓住問題的本質，學會歸類，繼而做到觸類旁通，從而有效地提高學生的解題能力。

下面筆者將從以下幾個方面進行闡述。

一、一線等三角的定義

一線三等角就是指三個等角的頂點在同一直線上。具體來說，兩個等角的一邊在同一直線上，另一邊在該直線的同側。若有第三個與之相等的角、其頂點在該直線上，角的兩邊（或兩邊所在的直線）分別與兩等角的非共線邊（或該邊所在的直線）相交，此時通過證明，一般都可以得到一組全等或者相似三角形，這組相似三角形習慣稱之為一線三等角型。解題思路是：一線三等角，其他等角容易找，從而容易證明三角形相似，若有一對對應邊相等，三角形就全等了。只要存在一線三等角模型，一定存在其他兩對相等的角，從而找到解決問題的突破口，或用全等，或用相似，最終都能輕松戰勝困難。

二、一線三等角的基本模型。

1. 直角型一線三等角。基本圖形如下：

這是一種特殊的一線三等角型，三個相等的角均為直角，因此習慣地稱為一線三直角型。一線三直角型常常以直角三角形、矩形或者正方形作為圖形背景，圖形如下：

有些基本圖形很清晰，有些需要我們添加適當的輔助線讓這種基本模型“顯山露水”……

三、“一線三等角”的常規思路

從以上例題可以看出，任何一個復雜的幾何圖形往往都是一些學生所熟悉的基本圖形的變式，或由若干個基本圖形組合而成，學生可以從復雜圖形中分離出一線三等角的基本數學模型，對分析問題、解決問題有化繁為簡的效果。只要見到一條直線上出現了三個等角，往往都存在這樣的模型，在一些綜合性題目中，教師要善于培養學生的“火眼金睛”去挖掘、發現這樣的一些基本圖形，往往通過對這些基本圖形進行探討，把綜合題目進行了有效分解，打破對綜合題的畏懼心理，加深對于題目條件的使用，條件用完，即使題目沒有求解完畢，也得到相應的分數，提高問題解決的能力，在師生共同探討的過程中鼓勵學生嘗試解題，并加強題后反思，鍛煉學生的思維，培養學生解題的能力。

（作者單位：福建省泉州市馬甲中學 362000）