改進(jìn)區(qū)間可接受度的證券投資組合區(qū)間二次規(guī)劃模型

王建建，何 楓，吳子軒，陳麗莉

(1.北京科技大學(xué)東凌經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100083；2.清華大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100084)

1 引言

Markowitz[1]在其所提出的M-V模型中，首次運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法定量分析了投資組合中風(fēng)險(xiǎn)與收益之間的內(nèi)在關(guān)系。該理論開辟了金融定量分析的時(shí)代，為現(xiàn)代證券投資組合理論奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并由此衍生出一系列的相關(guān)研究。例如，張鵬等[2]考慮交易成本，借款約束和閾值約束，提出了具有最小交易量限制的多階段均值-半方差投資組合模型。該模型與已有的多階段投資組合相比，所研究的多階段投資組合之決策變量是整數(shù)，該特點(diǎn)符合現(xiàn)實(shí)投資組合。周忠寶等[3]則構(gòu)建了考慮交易成本的多階段投資組合優(yōu)化模型，其基于真實(shí)前沿面定義了投資組合的效率并提出了相應(yīng)的非線性模型進(jìn)行計(jì)算求解。張鵬等[2]和周忠寶等[3]雖然考慮了交易量及交易成本，但它們研究的均是確定性條件下的證券投資組合模型。

然而，在現(xiàn)實(shí)的證券市場中，諸多不確定因素的存在使得預(yù)期收益、風(fēng)險(xiǎn)損失率以及市場流動(dòng)性(比如以換手率刻畫)具有動(dòng)態(tài)性[4]；對(duì)此，投資者很難給出精確的數(shù)值。因此，在實(shí)踐中，投資者只能獲取證券收益率、風(fēng)險(xiǎn)損失率及換手率的變化范圍，并通常以區(qū)間數(shù)來表示此類問題，也即引申出所謂的區(qū)間規(guī)劃問題。目前，區(qū)間規(guī)劃問題已成為研究投資組合的熱點(diǎn)問題之一。綜上，本文認(rèn)為對(duì)投資收益及風(fēng)險(xiǎn)等為區(qū)間數(shù)的投資組合區(qū)間規(guī)劃模型展開研究，不僅可以完善和豐富不確定的優(yōu)化理論，對(duì)其恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用也有助于投資者在實(shí)際證券市場中進(jìn)行更加合理的投資選擇。

證券投資組合的區(qū)間線性規(guī)劃問題研究雖有不少，但其方法卻相對(duì)簡單。例如，Tong Shaocheng[5]針對(duì)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)和約束系數(shù)為區(qū)間數(shù)的情況，給出了目標(biāo)函數(shù)值范圍。Lai等[6]討論了目標(biāo)函數(shù)和約束條件為區(qū)間數(shù)的問題，以區(qū)間數(shù)來描述收益率在證券市場的不確定性，提出了半絕對(duì)偏差度量風(fēng)險(xiǎn)的投資組合模型，并將其轉(zhuǎn)化為線性區(qū)間規(guī)劃模型進(jìn)行求解。Wu Meng等[7]提出了收益和風(fēng)險(xiǎn)均為區(qū)間數(shù)的證券投資組合模型，通過使用區(qū)間數(shù)和凸分析，得到非劣解。陳華友和趙玉梅[8]等通過引入?yún)^(qū)間數(shù)線性規(guī)劃問題中的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化水平α和約束水平β，提出了證券組合投資的區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃模型。趙玉梅等[9]給出了一個(gè)考慮交易費(fèi)用的證券組合投資的區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃模型，具體是通過引入?yún)^(qū)間數(shù)線性規(guī)劃問題中的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化水平參數(shù)和約束條件滿足水平參數(shù)，將區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為確定型的一般線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解。一般而言，在證券投資組合的非線性規(guī)劃問題中，二次規(guī)劃是一類特殊的非線性規(guī)劃。目前，關(guān)于區(qū)間二次規(guī)劃的求解方法有：Liu和Wang[10]研究了目標(biāo)函數(shù)線性部分及約束條件中含有區(qū)間數(shù)的二次規(guī)劃問題的求解。在此基礎(chǔ)上，Li Wei等[11]針對(duì)弱條件下的區(qū)間二次規(guī)劃問題，進(jìn)一步提出了一種新的方法來計(jì)算上界的最優(yōu)值，并討論了新方法和傳統(tǒng)方法的關(guān)系。徐曉寧等[12-13]則針對(duì)市場不允許賣空和允許賣空兩種情況提出了基于區(qū)間數(shù)排序方法的區(qū)間二次規(guī)劃模型；但是該模型未考慮交易成本及市場流動(dòng)性的影響，這使得所建立的模型仍不夠貼近實(shí)際的投資活動(dòng)，具有一定的局限性。

綜上來看，目前關(guān)于證券投資組合區(qū)間二次規(guī)劃的求解方法較少且仍有不少拓展空間。本文在均值方差模型的基礎(chǔ)上，擬引入交易成本、流動(dòng)性作為新的約束條件，及使用區(qū)間數(shù)來更加現(xiàn)實(shí)地描述證券的收益率、風(fēng)險(xiǎn)損失率以及流動(dòng)性，由此建立新的含交易成本的證券投資組合區(qū)間二次規(guī)劃模型。進(jìn)一步地，本文在此基礎(chǔ)上，擬提出改進(jìn)區(qū)間數(shù)可接受度的方法，將不確定型模型轉(zhuǎn)化為確定型模型進(jìn)行求解，這可有利于投資者根據(jù)自己的偏好選擇相應(yīng)投資方案。最后，筆者通過證券實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，以觀察本文所建立的模型是否更符合實(shí)際的投資環(huán)境和具有可行性。

2 區(qū)間數(shù)理論知識(shí)

1) 區(qū)間數(shù)的相關(guān)定義[14]

2) 區(qū)間數(shù)的運(yùn)算[15]

3 含交易成本的區(qū)間二次規(guī)劃模型

流動(dòng)性是研究中最主要的問題之一，但實(shí)踐中具體描述證券未來的流動(dòng)性卻也十分困難。在市場流動(dòng)性的影響因素方面，大多數(shù)學(xué)者認(rèn)為流動(dòng)性包括寬度、深度、及時(shí)性和彈性等四個(gè)主要方面。沿用陳國華[16]等研究，本文選擇以換手率度量流動(dòng)性，同時(shí)將交易成本設(shè)計(jì)為線性函數(shù)來建立模型。另外鑒于我國證券市場目前大多數(shù)暫不不允許賣空，即投資比例滿足非負(fù)性。最后，我們假設(shè)投資者在n種證券之間進(jìn)行選擇。其選擇依據(jù)是，根據(jù)均值—方差模型，投資者將在既定的收益、換手率約束條件下，使得投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小。

綜上，可建立含有交易成本的證券組合投資的區(qū)間二次規(guī)劃模型(1)：

(1)

3.1 基于α優(yōu)化水平目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)換

定義3 若x=(x1,x2,…,xn)T滿足(1)中的所有約束條件，則稱為模型(1)的可行解。由所有可行解構(gòu)成的集合則稱為模型(1)的可行域，記為S。

minf(x)=〈m(f(x)),w(f(x))〉

(2)

minf(x)=(1-α)m(f(x))+αw(f(x))

(3)

(4)

3.2 基于改進(jìn)區(qū)間可接受度的不確定約束的轉(zhuǎn)換

定義7[18]區(qū)間的序關(guān)系≤MW：

可轉(zhuǎn)化為確定性的約束條件：

證明：(1) 必要性．

根據(jù)定義7中的區(qū)間序關(guān)系≤MW，易得:

經(jīng)整理可得：

(2)充分性．

整理得：

綜上可得：

證明方法同定理1，此處省略。

通過引入約束條件可接受水平η，本文提出定義8及結(jié)合定義7，提出了改進(jìn)的區(qū)間可接受度的不確定約束轉(zhuǎn)換的定理1和定理2，并給出證明。然后，根據(jù)定理1和定理2，將含有區(qū)間數(shù)的不確定約束條件的二次規(guī)劃模型(4)轉(zhuǎn)化為確定性的含有交易成本的單目標(biāo)二次規(guī)劃模型(5)：

(5)

其中，0≤α,η≤1。由本文建立的模型(5)可知，給定α,η不同取值，投資者可獲得不同投資組合方案。從這個(gè)角度來看，本文的模型適用性更強(qiáng)，這說明，對(duì)于模型(1)的求解，基于改進(jìn)的區(qū)間可接受度的確定型轉(zhuǎn)化方法與傳統(tǒng)確定型轉(zhuǎn)化方法相比，本文的方法更具優(yōu)勢(shì)。

3.3 含交易成本的區(qū)間二次規(guī)劃的另一數(shù)值解法

目前，已有許多關(guān)于區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃的求解方法。例如，郭均鵬和李汶華[19]提出了最好最優(yōu)值和最差最優(yōu)值，以及最大范圍不等式和最小范圍不等式的定義，將區(qū)間線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化成確定性的規(guī)劃問題進(jìn)行求解。對(duì)于含交易成本的證券投資組合區(qū)間二次規(guī)劃模型(1)，采用郭均鵬和李汶華[19]的方法，可將含交易成本的區(qū)間二次規(guī)劃模型(1)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)確定性的二次規(guī)劃模型(6)和(7)進(jìn)行求解。通過求解模型(6)和(7)的最優(yōu)解，可得含有交易成本的證券組合投資的區(qū)間二次規(guī)劃模型(1)的目標(biāo)函數(shù)的上下界，根據(jù)上下界來確定投資組合的最小風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間。

(6)

(7)

4 數(shù)值算例

本文沿用鄧雪等[20]中的數(shù)據(jù)，假設(shè)投資者要將資產(chǎn)分配至3種證券，分別為：東方集團(tuán)、上汽集團(tuán)、五礦發(fā)展的2005年4月至2009年3月的每月收盤價(jià)及換手率，并可計(jì)算這三種證券對(duì)應(yīng)的期望收益率區(qū)間、方差及協(xié)方差風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間以及換手率區(qū)間分別如下：

期望收益率區(qū)間：

方差及協(xié)方差風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間：

換手率區(qū)間：

4.1 基于改進(jìn)的區(qū)間可接受度的解法

基于以上數(shù)據(jù)，本文應(yīng)用MATLAB軟件，可計(jì)算模型(5)，根據(jù)不同的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化水平α和約束條件的可接受水平η，以及設(shè)置α、η不同的取值，可得到不同的投資組合的方案。由此，解得3種證券投資組合的投資比例及風(fēng)險(xiǎn)值如表1所示。

表1 基于不同優(yōu)化水平及可接受水平的投資組合比例

續(xù)表1 基于不同優(yōu)化水平及可接受水平的投資組合比例

由上表可知：固定η值，投資者選擇的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化水平α越大，則投資者投資風(fēng)險(xiǎn)就不斷減小；相反，則越大。固定α值，投資者給出的約束條件可接受水平η越大，即投資者對(duì)于期望收益率以及換手率的可接受度越來越大，則投資者所要承受的風(fēng)險(xiǎn)也將不斷增大；相反，則越小。這符合證券投資組合理論中“高收益伴隨高風(fēng)險(xiǎn)”的實(shí)際情況，也表明該模型具有較好的實(shí)際意義。由表1可得出，目標(biāo)函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)值的范圍，即風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間為f(x)=[0.0086,0.0509]。

固定η=0，由圖1可看出，目標(biāo)函數(shù)值即證券投資風(fēng)險(xiǎn)值隨優(yōu)化水平α的增加而減小，在α∈[0,1]內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)值隨優(yōu)化水平α呈現(xiàn)單調(diào)遞減情況。圖1則更加直觀地反映了投資者優(yōu)化水平α變化時(shí)風(fēng)險(xiǎn)值的變化情況。

圖1 證券投資風(fēng)險(xiǎn)值隨優(yōu)化水平α的變化

固定α=0.5，由圖2可得，總體上目標(biāo)函數(shù)值即證券投資風(fēng)險(xiǎn)值隨約束條件可接受水平η值的增加而呈上升趨勢(shì)。當(dāng)η∈[0,0.7]時(shí)，隨約束條件可接受水平η值的增加，目標(biāo)函數(shù)值逐漸增大，增長趨勢(shì)較慢；當(dāng)η∈[0.7,0.9]隨約束條件可接受水平η值的增加，目標(biāo)函數(shù)值快速增大。當(dāng)η∈[0.9,1]時(shí)，隨約束條件可接受水平η值的增加，目標(biāo)函數(shù)值增長趨勢(shì)逐漸放緩。圖2直觀地反映了投資者可接受水平η值變化時(shí)風(fēng)險(xiǎn)值的變化情況。

圖2 證券投資風(fēng)險(xiǎn)值隨可接受水平η的變化

4.2 另一區(qū)間二次規(guī)劃的數(shù)值解法

根據(jù)本文4.1節(jié)數(shù)據(jù)，可分別求解3.3節(jié)中的模型(6)和(7)。其中，所求最優(yōu)解分別表示為模型(1)目標(biāo)函數(shù)的上、下界值，其結(jié)果如下：

目標(biāo)函數(shù)的下界：x=(0.2441,0.4627,0.2933)，fL(x)=0.0285

目標(biāo)函數(shù)的上界：x=(0,0.0749,0.9251)，fU(x)=0.0567

從而得到含有交易成本的證券投資組合二次規(guī)劃模型的解區(qū)間為f(x)=[0.0285,0.0567]。

4.3 兩種解法的比較

將兩種方法求得的證券投資組合模型的目標(biāo)函數(shù)值分別表示為：f1=[0.0086,0.0509],f2=[0.0285,0.0567]。這兩個(gè)區(qū)間的位置關(guān)系如圖3所示：

圖3 兩個(gè)區(qū)間數(shù)的位置關(guān)系

由圖3及文獻(xiàn)給出的區(qū)間序關(guān)系以及區(qū)間可能度的定義，可得出f1,f2是相交的卻不包含。根據(jù)Ishibuchi和Tanaka[18]確定性的區(qū)間序關(guān)系≤MW比較f1和f2，由于m(f1)=0.0298ω(f2)=0.0141，故可得出f1優(yōu)于f2。此外，由達(dá)慶利和劉新旺[21]的區(qū)間可能度可得P(f1

通過區(qū)間數(shù)確定性序關(guān)系的排序方法及區(qū)間可能度的比較，我們發(fā)現(xiàn)，在求解含有交易成本的證券投資組合區(qū)間二次規(guī)劃模型(1)時(shí)，基于本文改進(jìn)區(qū)間可接受度的求解方法明顯優(yōu)于第二種解法。進(jìn)一步地，應(yīng)用本文方法，在實(shí)踐中有利于投資者依據(jù)自己偏好來選擇具體的投資組合方案以更有效率地配置資產(chǎn)。

5 結(jié)語

考慮到現(xiàn)實(shí)證券市場中有很強(qiáng)的不確定性，本文將證券風(fēng)險(xiǎn)、收益以及其相應(yīng)流動(dòng)性的不確定性用區(qū)間數(shù)予以描述，建立了一種新的含交易成本的證券投資組合區(qū)間二次規(guī)劃模型。其次，為求解該模型，本文提出了基于α優(yōu)化水平轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)也給出了改進(jìn)的區(qū)間可接受度將不確定約束條件轉(zhuǎn)化為確定性含參數(shù)的線性約束轉(zhuǎn)換方法。第三，本文采用郭均鵬和李汶華[19]的傳統(tǒng)方法給出本文模型的另一數(shù)值解法。最后，我們還結(jié)合模型給出了具體證券投資算例，分別采用本文的方法以及已有的傳統(tǒng)方法對(duì)所提出的模型進(jìn)行求解。數(shù)值算例的結(jié)果表明，由本文方法所求得目標(biāo)函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)值的范圍要小于傳統(tǒng)方法求得的范圍。一般來說，在收益一定的情況下，目標(biāo)函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)范圍越小，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)就越小，投資就越理性。

我們認(rèn)為，本文模型為證券投資者提供了一種新的投資思路。基于本文所提出的方法，投資者可依據(jù)自己偏好選擇具體的投資組合方案，這在實(shí)踐中具有更好的操作空間。但是，稍有遺憾的是本文僅考慮交易成本為線性函數(shù)的情況。因?yàn)椋F(xiàn)實(shí)證券市場中存在著不同形式及不同復(fù)雜程度的交易成本，而各種不同形式的交易成本又極有可能影響證券投資組合的選擇。因此，在不同形式交易成本的下，關(guān)于含交易成本的區(qū)間二次規(guī)劃模型的求解仍有廣闊的研究與拓展空間。這也正是筆者未來進(jìn)一步研究的主要方向。