數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用舉例

韋楊金

【摘 要】本文闡明數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵及應(yīng)用領(lǐng)域，以例講解數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”和將“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的運(yùn)用方法，以幫助學(xué)生更好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 等差數(shù)列 立體幾何

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）07B-0117-03

高中數(shù)學(xué)幾乎處處滲透數(shù)形結(jié)合思想，在高考數(shù)學(xué)試題中大約 60% 的題型都含有數(shù)形結(jié)合思想。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以開闊學(xué)生的解題思路，提高學(xué)習(xí)效率。

一、數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵及應(yīng)用領(lǐng)域

（一）數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵。數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)在層次與結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，理清各個(gè)條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，分析它的代數(shù)含義和幾何意義，把數(shù)學(xué)問(wèn)題的各種關(guān)系與空間形式結(jié)合起來(lái)。利用這種結(jié)合，可以迅速地找出解決問(wèn)題的思路。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)在于把抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，將代數(shù)問(wèn)題幾何化，將幾何問(wèn)題代數(shù)化。

（二）數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用領(lǐng)域。數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)過(guò)程中有重要的指導(dǎo)作用，在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中有重要的價(jià)值。在初中數(shù)學(xué)中就有所涉及，例如在研究一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，所使用的方法是先畫出函數(shù)的圖象，再分析圖象得出函數(shù)的性質(zhì)。在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用就更加廣泛，例如集合問(wèn)題、求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、方程與不等式、三角函數(shù)、向量、數(shù)列、線性規(guī)劃、復(fù)數(shù)、解析幾何、立體幾何等有關(guān)問(wèn)題都運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合思想。

二、數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用

（一）“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”的應(yīng)用。“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”是我們常用的方法，圖形具有形象、直觀的特點(diǎn)，在解題時(shí)，通常把抽象的難以求解的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，利用圖形的直觀性來(lái)幫助我們解決抽象的代數(shù)問(wèn)題。譬如，方程零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題、不等式解集問(wèn)題、復(fù)數(shù)問(wèn)題、線性規(guī)劃問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題，等等，借助數(shù)形結(jié)合，這些問(wèn)題都能快速地找出解決辦法，極大提高做題的效率。下面以數(shù)列問(wèn)題為例，說(shuō)明“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”的應(yīng)用。

數(shù)列是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，而等差數(shù)列以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的一次函數(shù)，它的前 n 項(xiàng)和是常數(shù)項(xiàng)為零的關(guān)于 n 的二次函數(shù)。因此等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的最值問(wèn)題可以結(jié)合一次函數(shù)的圖象或二次函數(shù)的圖象來(lái)求解。

〖例 1〗在等差數(shù)列{an}中，a1=5，S3=S8，問(wèn) n 為何值時(shí)， Sn 最大？

〖分析〗這是一個(gè)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和求最值的問(wèn)題，解決這個(gè)問(wèn)題有三種方法：配方法、通項(xiàng)法、圖象法。下面著重分析圖象法。

我們可以利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)確定 n 的值。構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知二次函數(shù)的圖象開口向下，在對(duì)稱軸處取到最大值。但值得注意的是，對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的自變量是否為正整數(shù)？如果是正整數(shù)，則在對(duì)稱軸處取到最大值；如果不是正整數(shù)，則在與對(duì)稱軸距離最近的正整數(shù)取到最大值。

因?yàn)?不是正整數(shù)，而與 最近的正整數(shù)為 5 或 6，所以 n 取 5 或 6 時(shí)，Sn 的值最大。

值得注意的是，利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，可以快速求出對(duì)稱軸，即 Sm=Sn，則對(duì)稱軸為 。另外我們也可以利用幾何畫板畫出該函數(shù)的圖象來(lái)驗(yàn)證，如圖所示：

另外我們也可以利用一次函數(shù)的圖象來(lái)解決，結(jié)合題意，應(yīng)為首項(xiàng)大于 0，要使前 n 項(xiàng)和最大，那么第 n 項(xiàng)必須大于等于零，第 n+1 項(xiàng)必須小于或等于零。從圖象上來(lái)看，點(diǎn)（n，an）位于 x 軸的上方或 x 軸上，點(diǎn)（n，an+1）位于 x 軸下方或 x 軸上。由前面的方法可知 an=-n+6，令 g（x）=-x+6，畫出 g（x）的圖象，如圖所示：

從圖象可以看出點(diǎn) A（5，1）位于 x 軸上方，點(diǎn) B（6，0）位于 x 軸上，點(diǎn) C（7，-1）位于 x 軸下方。故當(dāng) n 取 5 或 6 時(shí) Sn 的值最大。

結(jié)論：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，以形助數(shù)，可以更快地發(fā)現(xiàn)解題方法，避免復(fù)雜的計(jì)算，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高解題的速度。

（二）“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的應(yīng)用。利用幾何圖形形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”，用幾何圖形來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題，非常方便、快捷。但是幾何圖形在定量方面還必須借助代數(shù)計(jì)算，因此，用數(shù)論形可以讓學(xué)生更好地理解幾何圖形意義下的數(shù)量關(guān)系。解析幾何問(wèn)題、立體幾何問(wèn)題等都可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決。比如，立體幾何中二面角問(wèn)題、垂直問(wèn)題、平行問(wèn)題以及空間兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題等，我們可運(yùn)用向量法來(lái)解決。一般步驟：（1）建立空間直角坐標(biāo)系；（2）將題中的點(diǎn)用坐標(biāo)表示、線用向量表示；（3）把題中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)形式；（4）求解出代數(shù)結(jié)果，并轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。下面以 2017 年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)（全國(guó)卷 1）的第 18 題第（2）小題為例。

〖例 2〗如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，AB//CD，且 ∠BAP=∠CDP=90°。（2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角 A-PB-C 的余弦值。

〖分析〗求二面角 A-PB-C 的余弦值，利用幾何法必須先找出該角，才能在相應(yīng)三角形中利用正、余弦定理或三角函數(shù)的知識(shí)求出該角的余弦值，但過(guò)程相當(dāng)麻煩，單是找二面角就是一個(gè)難題。因此我們可以換一種思路，借助向量。因?yàn)槊?APB 與面 PBC 的法向量的夾角與這兩個(gè)面的二面角互補(bǔ)，所以我們可以先求出面 APB 與面 PBC 的法向量的夾角。

〖解〗以 AD 中點(diǎn) O 為原點(diǎn)，OA 為 x 軸，OP 為 z 軸建立平面直角坐標(biāo)系。

結(jié)論：利用直角坐標(biāo)系和向量，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題，使得復(fù)雜的幾何問(wèn)題簡(jiǎn)單化，解題過(guò)程簡(jiǎn)單易行，運(yùn)用的知識(shí)也比較簡(jiǎn)單易懂，使得學(xué)生更加容易接受和吸收。

高中數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法有很多種，而數(shù)形結(jié)合思想使用的頻率最高。學(xué)生要掌握這一思想的使用原則，并能靈活運(yùn)用該思想來(lái)解題。如果這樣，那么就能提高解題效率，提高學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力。因此教師在教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，在遇到能夠用該思想解題的題型時(shí)，要用這種思想方法來(lái)解答。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]韓玉紅.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)研究，2017（2）

[3]于瀚欽.等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值問(wèn)題中的一題多解[J].中學(xué)生數(shù)理化，2016（11）

（責(zé)編 盧建龍）