縱向耦合驅動式有軌電車μ綜合導向控制

楊 哲， 陸正剛， 李道軍， 黃 琦

(同濟大學 鐵道與城市軌道交通研究院， 上海 201804)

有軌電車作為現代城市軌道交通的重要組成部分，其通常會采用獨立旋轉車輪以方便車軸下凹，使車內空間可以做成100%低地板形式.由于獨立旋轉車輪同軸兩側車輪可以獨立轉動，所以當左右兩側車輪存在輪徑差時其縱向蠕滑力不足以產生使車輪恢復對中和導向的搖頭力矩，因此低地板有軌電車直線運行時在軌道橫向激勵作用下容易造成車輪輪緣和鋼軌的接觸；車輛曲線通過時由于缺乏自導向能力，獨立旋轉車輪的輪緣和鋼軌會持續貼靠[1-2]，增加車輛運行阻力和輪軌磨耗，從而增加車輛運營和維護成本.采用橫向耦合或者縱向耦合形式的轉向架可以一定程度上提高低地板有軌電車的導向能力.其中縱向耦合轉向架同側前后兩車輪用同一電機驅動，以保證其轉速一致(也可用電器耦合的方式實現).由于縱向耦合轉向架直線對中和曲線導向能力不如采用傳統輪對的轉向架[3]，而有軌電車運行線路曲線多且半徑較小，所以采用縱向耦合轉向架的有軌電車運營時磨耗嚴重.

隨著機電一體化技術的發展，主動控制在軌道車輛上得到了越來越廣泛的運用，其中歐洲的主動傾擺式列車便是典型案例.由于主動導向控制能有效減小輪軌磨損和能量消耗[4]，因此國內外學者針對軌道車輛主動導向控制開展了廣泛的研究，但考慮輪對縱向耦合的研究未見報道.Wickens[5]采用比例(P)控制，實現了采用 “獨立旋轉輪對副”軌道車輛的小曲線通過主動控制.但是P控制不能消除穩態誤差，且響應遲緩，不適用于高頻軌道激勵工況.德國宇航局在下一代列車項目[6]采用比例-微分(PD)控制算法控制獨立旋轉車輪左右兩側電機轉矩實現主動導向控制.任利惠等[7-8]采用比例-積分(PI)控制，以車輪速差和曲線半徑等因素為反饋量實現獨立旋轉輪對車輛的主動控制.Gretzschel[9]、孫效杰等[10]采用比例-積分-微分(PID)控制算法，通過測量車輪橫移量和搖頭角實現了獨立旋轉車輪軌道車輛的牽引和導向集成控制.Mei等[11]采用模態控制算法通過控制安裝在車軸與構架間的作動器來實現獨立旋轉車輪的主動導向控制.經典的PD、PI或者PID控制算法，并不能實現控制最優；而模態控制雖然能一定程度上實現最優控制，但由于其基于線性模型設計，而軌道車輛是強非線性系統，所以并不能反映系統的真實情況.

本文采用魯棒μ綜合方法對縱向耦合驅動有軌電車進行主動導向控制，考慮了輪對系統外部激擾不確定性、輪軌系統接觸的非線性引起的參數變化和反饋信號的測量噪聲，對縱向耦合驅動有軌電車的主動導向技術的實際應用有一定的意義.

1 車輛結構及控制器設計原則

文中研究的有軌電車結構如圖1所示，車輛動力學參數見表1，其中轉向架同側前后兩車輪由同一電機驅動，形成縱向耦合轉向架.對多自由度的整車系統，建立整個系統的狀態空間并采用魯棒μ綜合法求解幾乎是不可行的，因為魯棒μ綜合法對多自由系統收斂困難，且對系統狀態空間要求嚴格，因此文獻[12-13]只對單構架車輛模型進行了控制器設計.由于輪對通過一系懸掛與構架聯接、通過輪軌接觸與軌道聯接，因此如果把一系懸掛和輪軌接觸力的合力看作輪對系統的外部輸入力，則輪對系統就可以從車輛模型中獨立出來.輪對系統上的外部力可表示為控制系統的不確定輸入，這樣即充分考慮了轉向架和車體以及輪軌力對單輪對模型的影響；又避免了采用整車系統的狀態方程，使魯棒控制在復雜的整車模型中得以應用.

圖1 縱向耦合有軌電車結構

結構參數數值車體質量/kg9 000側滾慣量/(kg·m2)10 000點頭慣量/(kg·m2)80 000搖頭慣量/(kg·m2)80 000構架質量/kg1 670側流慣量/(kg·m2)1 261點頭慣量/(kg·m2)988搖頭慣量/(kg·m2)1 332一系懸掛(每軸箱)縱向剛度/(kN·m-1)500橫向剛度/(kN·m-1)5 000垂向剛度/(kN·m-1)12 000縱向阻尼/(kN·m·s-1)25橫向阻尼/(kN·m·s-1)250垂向阻尼/(kN·m·s-1)600二系懸掛(構架每側)縱向剛度/(kN·m-1)100橫向剛度/(kN·m-1)100垂向剛度/(kN·m-1)600縱向阻尼/(kN·m·s-1)10橫向阻尼/(kN·m·s-1)10垂向阻尼/(kN·m·s-1)35其他軸距/m1.80重力加速度/(m·s-2)9.8一系懸掛橫向跨距之半/m0.540一系懸掛縱向跨距之半/m0.195二系懸掛橫向跨距之半/m0.900二系懸掛縱向跨距之半/m0.250

縱向耦合轉向架前后輪對除同側前后車輪轉速一致外,其他自由度相互獨立[3].因此本文首先以單個輪對為研究對象進行控制器設計，使其獲得相對最優的控制策略，然后通過對單個輪對控制器進行不同的組合設計出適合縱向耦合轉向架的控制方法.

2 基于單輪對的魯棒控制器設計

考慮輪對的橫移、搖頭以及車輪的轉動自由度，則獨立車輪輪對的動力學方程可以表示為

ψ=Fy

(1)

(2)

(3)

式中：mw=1 250 kg,為輪對質量；IωΨ=700 kg·m2,為輪對搖頭轉動慣量；Iwφ=27 kg·m2,為車輪的旋轉轉動慣量；l=0.75 m為輪對橫向跨距之半；r0=0.35 m為車輪名義滾動圓半徑；y為輪對橫移量，m；ψ為輪對搖頭角，rad；φ為車輪旋轉角度，rad；v為車輛運行速度，m·s-1；f11、f22分別為縱橫向蠕滑系數；λ為車輪踏面斜度；Fy和Tψ分別表示由一系懸掛和輪軌力的非線性部分作用在輪對上的合力和合力矩；Tφ是作用在左右輪上控制轉矩差之半.

Tφ=TφL，Tφ=-TφR

(4)

式中：TφL,TφR分別是作用在左右車輪上的控制轉矩.dφ/dt為左右輪轉速差之半，即

ωL=v/r0+dφ/dt,ωR=v/r0-dφ/dt

(5)

式中:ωL,ωR分別為左右輪轉動角速度.輪對的動力學方程可寫成狀態空間形式為

(6)

車輪的橫移量和搖頭角是評價車輛直線對中和曲線通過性能的兩個重要指標：輪對相對鋼軌的橫移量反映出是否發生輪緣與鋼軌接觸及車輛運動的穩定性，而車輪沖角影響橫向蠕滑力的大小.由于同一輪對左右車輪之間有軸橋連接，因此輪對橫移量和搖頭角是相互關聯的，所以導向控制時只需控制輪對橫移量的大小即可[10].選取輪對的橫移量作為系統輸出，并選取輪對相對軌道的橫移量、搖頭角以及左右輪旋轉角度差作為控制系統的測量變量，則控制系統的狀態空間可寫為

(7)

式中：C1、C2是輸出矩陣；D11、D12、D21、D22是前饋矩陣；Ss是系統的狀態空間矩陣；Z=y是系統輸出；Y=[yψφ]T是測量變量.

2.1 系統參數不確定性及其分離

輪軌接觸具有強烈的非線性特性，所以獨立旋轉車輪的動力學方程并非線性方程.其非線性特性主要是由軌道和車輪踏面的幾何非線性和輪軌接觸力的非線性產生，即動力學方程中的踏面錐度λ和橫、縱向蠕滑系數f11與f22并不是一個固定值，而是在一定范圍內變化，因此文中用參數不確定性表示輪軌接觸的非線性特性.不確定性變量f11、f22和λ可表示為

δ1)

(8)

(9)

(10)

(11)

由式(11)可知狀態空間可表示為名義狀態空間與不確定性狀態空間之和.利用線性分式變換(LFT)把狀態空間中不確定參數表示為系統的外部攝動.首先對不確定狀態空間進行奇異值分解(SVD),即

(12)

式中:Li、Hi、Ri是狀態空間正交輸入基向量，與LFT變換時系統狀態和不確定矩陣的輸出相關；Si、Ti、Ji是狀態空間正交輸出基向量，與LFT變換時不確定矩陣的輸入相關.結合公式(11)和(12)，可知以下擴展矩陣成立:

(13)

式中：qi和pi分別表示對應不確定性δi的輸入和輸出,qi=δipi(i=1,2,3)；Gext是擴展狀態空間矩陣，包含了由奇異值分解得到矩陣.對擴展狀態空間Gext進行兩次上線性分式變換可得

(14)

式中：Gnom(s)是擴展狀態空間的標稱矩陣；

Δ=diagδ1,δ2,δ3

(15)

是系統外部攝動;G(s)是包含參數不確定的狀態空間矩陣.此時系統的參數不確定已從原系統中抽離,公式(14)所示的系統可用圖2表示.

圖2 含參數不確定的標準H∞控制

2.2 擴展模型和權重函數

控制器設計時除了使車輪橫移滿足設計要求外，電機的控制輸出轉矩也要滿足電機的許用輸出值，否則控制系統可能無法實現.考慮到對輪對狀態進行實際測量時存在測量噪聲，對整個控制系統的輸入、輸出進行歸一化處理，可得到符合實際控制系統設計目標的擴展控制系統框圖，如圖3所示.圖中ew、ez、eu和η滿足無窮范數小于1，分別是歸一化后的外部激擾輸入、系統輸出、控制器輸出和測量噪聲輸出；Ww、Wz、Wu和Wη是與之對應的權重函數.

圖3 擴展導向控制系統框圖

其中：

(16)

用來表示作用在輪對上的外部橫向力和搖頭力矩的變化范圍，其由輪軌力與一系懸掛力的合力產生.Ww表示輪對外部橫向力在2 500 N以內，搖頭轉矩在1 400 N·m內.Wz和Wu分別用來約束系統輸出和控制器輸出，確保車輛在獲得導向性能的同時，電機的控制轉矩符合許用值.

(17)

是車輛橫移輸出權重函數，用來約束輪對的橫移量在低頻時小于4 mm，在高頻時不超過6 mm.Wu是電機輸出權重函數

(18)

目的是使電機在低頻時的輸出轉矩不超過1 000 N·m，并抑制電機的高頻時的輸出.Wz與Wu倒數的幅頻響應如圖4和圖5所示.

圖4 1/Wz的幅頻特性

圖5 1/Wu的幅頻特性

Wη=diag{wη,wη,wη}，其中wη=10-4，以限制測量噪聲誤差在所有頻段均為10-4.

由圖3可知,由ew、eη到ez和eu的傳遞函數為

(19)

式中：So是輸出靈敏度函數;Gw與Gu分別是開環系統下外部激擾W和控制輸出U到系統輸出Z的傳遞函數;SoGw和SoGu分別是W和U到Z的傳遞函數;K是待求控制器.則在同時存在參數不確定性、測量噪聲、外部不確定激擾的情況下，滿足控制器設計目標的充分條件為：求一個真實有理的控制器K，使從由ew、eη到ez和eu的傳遞函數矩陣的H∞范數滿足

(20)

2.3 控制器求解

把圖3中虛線框中的部分定義為Gsys(s)，則系統可表示為帶有參數不確定的標準H∞控制形式,如圖6所示.圖6中：Δsys=Δ,ewη=[eweη]T,ezu=[ezeu]T.

圖6 擴展控制系統的標準H∞控制形式

μΔPFl(Gsys,K)(jω)<1

(21)

其中：

公式(21)可轉化為關于求控制器K的優化問題.

圖7 擴展控制系統的魯棒性能分析模型

定義常數對角矩陣為

D=diag[D1,D2,D3,I1]

(22)

則公式(21)等價于求解

(23)

利用D-K迭代法，交替優化式(23)中的D和K，最終得到滿足系統魯棒性能的控制矩陣，使系統的結構奇異值小于1，此時閉合系統的結構奇異值μ隨頻率的變化如圖8所示.

圖8 系統的結構奇異值隨頻率的變化

Fig.8Singularvalues-frequencyresponseoftheclosed-loopcontrolsystem

3 控制效果仿真分析與對比

縱向耦合轉向架同側前后兩車輪轉速和控制輸入相同，而前后車輪對主動控制轉矩需求不同，所以縱向耦合轉向架無法同時使前后車輪獲得最優的導向狀態.因此，基于單輪對魯棒控制器提出3種適用于縱向耦合轉向架的控制方案，如圖9所示.圖9a中采用前輪狀態信號作為控制器輸入，控制器輸出的2倍作為縱向電機的控制信號.因為車輛通過曲線時前輪的磨耗更為嚴重，所以優先對前輪進行控制；圖9b取前后輪對兩控制器輸出之和作為電機的控制輸入；圖9c則是以前后輪狀態信號的平均值作為控制器輸入信號，取控制器輸出的2倍作為電機的控制輸入.

文中選用兩種典型工況對控制效果進行驗證，分別是車輛以20 m·s-1的速度直線運行和以8.3 m·s-1的速度通過半徑為70 m的曲線，橫向激勵采用美國5級軌道譜.為充分驗證文中提出的μ控制算法的有效性，文中分別將其與施加魯棒H∞控制與無控制時的效果進行了對比.不同算法的控制效果通過MATLAB和SIMPACK的聯合仿真得到.

主動導向控制的根本目的是降低輪軌磨耗，而下文中的仿真結果表明,相較于H∞控制，μ控制可以使車輛獲得更小的磨耗數(尤其是在曲線工況上)，使車輛獲得更好的導向效果.因此為突出研究重點，下文中只對施加μ控制與無控制時的仿真結果進行對比.

a 控制方案1

b 控制方案2

c 控制方案3

Fig.9Activeguidancecontrolschemeforlongitudinalcoupledtramcar

3.1 直線工況

車輛以20 m·s-1的速度在直線運行時，施加控制前后車輛前導向輪對的運行狀態如圖10所示.無控制時導向輪的橫移量最大為7.5 mm，發生輪緣貼靠；搖頭角最大為12.6 mrad.此時前輪對的磨耗數最大值為968 N，平均值為16.9 N.當采用控制方案1(僅采用前輪狀態進行控制)時，導向輪對的橫移量和搖頭角的最大值分別是3.8 mm和4.9 mrad，導向輪對獲得了很好的直線對中能力.隨著車輪橫移和搖頭的減小，輪對磨耗數的最大值和平均值分別降為296 N和7.4 N.相較于無控制工況，采用控制方案1時導向輪對的平均磨耗數降低了56%.由圖10知，此時導向輪對橫移量輸出符合權重函數Wz的約束值，且控制轉矩Tφ在1 000 N·m內，符合控制器魯棒性能的設計目標.

由于控制方案1只采用了導向輪狀態，而縱向耦合轉向架同側前后車輪轉速一致，因此控制方案1無法保證后側輪對的狀態最優.施加控制方案1時后側車輪的狀態見表2，可知此時的后側車輪的平均磨耗數由無控制時的13.2 N增加至23.9 N，后輪的磨耗數增加了81%，因此只采用一個輪對的狀態進行控制是不可取的.

控制方案2和3都綜合采用了前后輪的狀態，因此對于單個車輪的控制效果不是最優.由圖10知，兩種控制方案并沒有明顯地降低輪對橫移和搖頭的最大值，但輪對橫移和搖頭絕對值的平均值均明顯下降，具體數據如表2所示.導向控制的根本目的是降低車輪的磨耗，因此重點對磨耗數進行對比.由表2可知，控制方案2僅能降低后側車輪的磨耗數，而導向輪對的平均磨耗數反而增加.而采用控制方案3時，前后輪對平均磨耗數由16.9 N減小為13.2 N，而后側輪對的磨耗數由13.2 N降低為5.3 N，即控制方案3能同時減低前后輪對的磨耗，綜合降幅為38%.因此直線工況下，控制方案3是最優導向控制方案.

3.2 曲線工況

車輛以8.3 m·s-1的速度通過半徑為70 m的曲線時，施加控制前后車輛前導向輪對的運行狀態如圖11所示.由圖11a可知，當車輛被動通過曲線時車輪橫移量在曲線部分幾乎一直保持在6.7 mm左右，說明此時車輛靠輪緣力實現導向.此時導向輪對在曲線期間磨耗數均值為85 N.采用控制方案1時，導向輪對最大橫移為6.3 mm，避免了輪軌貼靠.曲線通過時導向輪的平均磨耗數為39 N，與被動導向相比降低了54%.導向輪單側控制轉矩最大值為877 N·m，小于最大允許值1 000 N·m，滿足控制器設計目標.此時側車輪的狀態見表3，可知此時的后側車輪的平均磨耗數同樣得到了減少，由無控制時的27.1 N降至21.6 N. 可見曲線通過時，只采用前輪狀態進行控制器設計仍能同時降低前后輪對的磨耗.

表2 直線工況控制前后輪對狀態

a 橫移量

b 搖頭角

c 磨耗數

d 控制轉矩

圖10直線工況仿真結果

Fig.10Simulationresultsonstraighttrack

采用控制方案2和3時，導向輪對的橫移量、搖頭角、磨耗數及控制轉矩見圖11，前后輪對橫移量和搖頭角絕對值的平均值及磨耗數的平均值見表3.可知曲線通過時方案2和3的控制效果完全一致，與控制方案1的控制效果相比，前輪磨耗數均值增加3.4 N，而后輪磨耗數均值降低了6.1 N，即前后輪綜合磨耗較方案1降低了2.7 N，與無控制工況相比，前后輪總磨耗數均值由112.1 N降低到51.5 N，綜合降幅為54%.

表3 曲線工況控制前后輪對狀態

a 橫移量

b 搖頭角

c 磨耗數

d 控制轉矩

圖11曲線工況仿真結果

Fig.11Simulationresultsoncurvedtrack

4 結語

研究結果表明：通過控制縱向驅動電機的輸出轉矩改善縱向耦合驅動獨立旋轉車輪轉向架有軌電車的直線對中和曲線通過性能，并降低車輪磨耗是可行的.采用μ綜合魯棒算法進行控制器設計，可以綜合考慮輪軌接觸非線性、測量噪聲和外部輸入不確定性，保證控制器的魯棒穩定性和魯棒性能，并可使輪對從車輛模型中獨立出來實現本地控制.通過聯合仿真對文中提出的3種控制方案進行了對比，表明同時采用前后輪狀態作為控制器輸入信號時，能得到相對較好的控制效果：在直線和曲線工況時，分別使前后輪綜合磨耗數降低38%和54%.