MATLAB在橋梁結(jié)構(gòu)可靠度分析中的應(yīng)用

(寧夏大學(xué)土木與水利工程學(xué)院 寧夏 銀川 750000)

引言

橋梁結(jié)構(gòu)在服役期間，經(jīng)常受到自然因素及人為因素的影響，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷甚至倒塌，從而威脅橋梁結(jié)構(gòu)的正常使用。因此，橋梁結(jié)構(gòu)在正常使用條件下應(yīng)具備一定的可靠性，保證其在規(guī)定的使用期內(nèi)能夠承受設(shè)計(jì)的各種外界影響，進(jìn)而滿足設(shè)計(jì)要求以及不需過多維修加固就能保持其自身工作性能。運(yùn)用合理的方法對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)運(yùn)營(yíng)期間的安全性進(jìn)行有效評(píng)估、分析十分必要，可靠度是評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)可靠性的最常用、最有效方法，被廣泛應(yīng)用于各類結(jié)構(gòu)工程可靠性評(píng)估[1]。結(jié)構(gòu)可靠度分析方法有一次二階矩法、蒙特卡羅法、響應(yīng)面法、響應(yīng)面—蒙特卡羅法等[2]。

本文應(yīng)用MATLAB程序，使用可靠度計(jì)算中最常用的一次二階矩法和蒙特卡羅法，對(duì)選取的橋梁結(jié)構(gòu)算例進(jìn)行可靠度分析，得出結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)及失效概率，并對(duì)兩種方法的結(jié)果進(jìn)行分析、對(duì)比。

一、可靠度理論概述

結(jié)構(gòu)可靠度是指結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時(shí)間和條件下完成預(yù)期目標(biāo)的概率[3]，它是用概率的方式度量結(jié)構(gòu)的可靠性，即用可靠概率Ps表示結(jié)構(gòu)的可靠度；而失效概率是指結(jié)構(gòu)不能完成預(yù)定功能的概率，以Pf表示，且Ps與Pf互為對(duì)立關(guān)系，則滿足Ps+Pf=1。

結(jié)構(gòu)的可靠概率Ps表示為：

(1)

結(jié)構(gòu)的實(shí)效概率Ps表示為：

(2)

結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)β為：

β=Φ-1(1-Pf)

(3)

二、可靠度計(jì)算方法

(一)蒙特卡羅法

蒙特卡羅法[4]是一種用數(shù)值分析來解決與隨機(jī)變量相關(guān)的實(shí)際工程問題的方法，是目前的橋梁可靠性計(jì)算中一種相對(duì)精確的方法。該方法認(rèn)為對(duì)隨機(jī)變量的數(shù)值分析類似于一種試驗(yàn)，因此蒙特卡羅法又被稱為統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法。基于概率定義知，事件發(fā)生的概率可以通過大量試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率來評(píng)估。所以，可以先對(duì)影響可靠性的隨機(jī)變量進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣，然后把這些抽樣值逐個(gè)代入功能函數(shù)，確定橋梁結(jié)構(gòu)是否失效，最后得出橋梁結(jié)構(gòu)的失效概率。

假定結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為Z=g(X1,X2,X3,...,Xn)，隨機(jī)變量Xi(i=1,2,3,...,n) 的聯(lián)合概率密度為fX(X1,X2,X3,...,Xn)。按fX(X1,X2,X3,...,Xn)對(duì)Xi(i=1,2,3,...,n) 進(jìn)行隨機(jī)抽樣，用所得樣本值xi(i=1,2,3,...,n)計(jì)算功能函數(shù)值Z=g(X1,X2,X3,...,Xn) 。若 Z < 0，則模擬中結(jié)構(gòu)失效一次。若總共進(jìn)行了 N 次模擬，Z < 0 出現(xiàn)了n次，由概率論的大數(shù)定律中的 Bernoulli 定理可知，隨機(jī)事件 Z < 0 在 N 次獨(dú)立試驗(yàn)中的頻率n/N依概率收斂于該事件的概率Pf，故結(jié)構(gòu)的失效概率Pf的估計(jì)值為：Pf=n/N。

(二)一次二階矩法

一次二階矩法(中心點(diǎn)法)[5]是指利用隨機(jī)變量的均值(一階原點(diǎn)矩)和標(biāo)準(zhǔn)差(二階中心矩)的數(shù)學(xué)模型來分析結(jié)構(gòu)的可靠度，利用級(jí)數(shù)知識(shí)將極限狀態(tài)功能函數(shù)Z=g(X1,X2,X3,...,Xn)在平均值(即中心點(diǎn)上)上展開，線性化后再求解可靠度。根據(jù)功能函數(shù)的平均值μZ和標(biāo)準(zhǔn)差σZ，結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)為：

(4)

三、結(jié)構(gòu)算例

某服役橋梁結(jié)構(gòu)跨中截面抗力R及荷載效應(yīng)S均服從正態(tài)分布，其功能函數(shù)為Z=R-S，因?yàn)閆是S和R的線性函數(shù)，所以Z也服從正態(tài)分布。其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μR= 5.4×103KN·m、μS= 3.8×103KN·m；σR=2.7×102KN·m、σS=3.8×102KN·m，求該結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)β及失效概率pf，計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 算例1計(jì)算結(jié)果

四、結(jié)論

(1)運(yùn)用MATLAB程序，采用一次二階矩法和蒙特卡羅法，可得出結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)和失效概率，進(jìn)而可定量分析在正常運(yùn)營(yíng)條件下各隨機(jī)變量對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)安全性的影響，且結(jié)果合理、計(jì)算效率高。

(2)通過比較上述算例的結(jié)果可得，兩種方法的計(jì)算結(jié)果較為接近。其中蒙特卡羅法的計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，當(dāng)計(jì)算結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、抽取樣本數(shù)增加時(shí)，蒙特卡羅法運(yùn)行的時(shí)間和計(jì)算精度也會(huì)隨之增加。