例談給定含參線性目標函數的最優解問題

張文斌

“題設給出x，y滿足的二元一次不等式組，以及含參線性目標函數的最優解的個數，求參數的取值范圍或參數的值”，此類問題的求解具有一定的難度，需要在變化過程中去靈活思考分析，同時還需要考慮全面，防止遺漏，請看以下歸類解析.

類型一：給定含參線性目標函數的最優解“唯一”

一般地，根據x，y滿足的二元一次不等式組，以及含參線性目標函數的最優解唯一，求參數的取值范圍，其關鍵是讓線性目標函數對應的直線繞著最優解對應的點“旋轉分析”，以便考慮全面.

例1.已知實數x，y滿足線性約束條件x-y-2≤0x+2y-5≥0y-2≤0，若目標函數z=kx+y當且僅當x=3，y=1時取得最小值，則實數k的取值范圍是________.

分析：由于目標函數z=kx+y中涉及參數k，所以動直線

y=-kx+z（將z看作常量）的斜率不是常數，故本題需要根據最優解唯一以及動直線的斜率與可行域中邊界直線的斜率的大小關系，加以靈活分析.

解析：如圖，先畫出可行域，易求得點A（3，1）.于是，讓動直線y=-kx+z（將z看作常量）繞點A“旋轉分析”易知：應滿足

kAC<-k

又易知kAC=-，kAB=1，所以-<-k<1，即-1

故所求實數k的取值范圍是（-1，）.

評注：由于最優解對應的點是唯一確定的，故可讓直線繞點“旋轉分析”，其目的是全面考慮動直線的各種可能位置中，有哪些是適合題意的.

類型二：給定含參線性目標函數的最優解“有無窮多個”

一般地，根據x，y滿足的二元一次不等式組，以及含參線性目標函數的最優解有無窮多個，求參數的值，其關鍵是將“平移直線法”和“分類與整合思想”加以靈活、綜合運用，以便考慮全面.

例2.設變量x，y滿足約束條件x-y+2≥02x+3y-6≥03x+2y-9≤0，若z=kx-y（k∈R）取得最小值時的最優解有無窮多個，則實數k的值為

（ ）

A.1或- B.1或-

C.-1或 D.-或-

分析：由于目標函數z=kx-y中涉及參數k，所以動直線y=kx-z（將z看作常量）的斜率不是常數，故本題需要根據題設最優解有無窮多個以及動直線的斜率與零的大小關系加以討論分析.

解析：如圖，畫出可行域，利用平移直線法分析可知：

當k>0時，為滿足題意應使動直線y=kx-z與直線AB的斜率相等，所以有k=1（對應最優解為線段BC上任一點的坐標）；

當k=0時，顯然不適合題意；

當k<0時，為滿足題意應使動直線y=kx-z與直線BC的斜率相等，所以有k=-（對應最優解為線段BC上任一點的坐標）.

綜上可知，本題應選B.

評注：一般地，若最優解有無窮多個，則最值情景一定滿足目標函數對應的動直線與可行域的邊界直線重合.特別提醒：動直線與邊界直線重合時，目標函數是取得最小值還是最大值，則需要根據教材給出的最值規律加以具體判斷.

綜上所述，處理此類問題的關鍵在于將靜態的問題放置到一系列的運動變換過程中去加以思考分析.這樣求解具體問題，有利于從運動變換的角度對問題進行探究.值得一提的是，我們要注意具體“動”的方式，通過在“動”中去關注、運用題設條件，從而可幫助我們順利分析、解決目標問題.

？誗編輯 魯翠紅