導數、定積分知識結構與拓展

■河南省信陽高級中學 熊成兵

一、知識結構框架

二、結構分析

微積分的創立是數學發展中的里程碑,它的發展和廣泛應用開創了向近代數學過渡的新時期,為研究變量和函數提供了重要的方法和手段。導數、定積分都是微積分的核心概念。在本章中,要理解導數的概念,了解導數在研究函數的單調性、極值與最值、零點問題,以及導數與不等關系中的作用,感受導數在解決實際問題中的作用,了解微積分的文化價值。本部分一直是高考的重點和難點。一般以基本初等函數為載體,利用導數研究函數的性質;利用導數解決與不等式相關問題;本部分涉及的數學思想主要為分類整合思想,轉化與化歸思想,對同學們的運算求解能力和推理論證能力的提高有很大的幫助。

三、實例分析

例1 設函數f(x)=x3+(a-1)x2+a x,若f(x)為奇函數,則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為( )。

A.y=-2x B.y=-x

C.y=2x D.y=x

分析：本題考查函數的對稱性和導數的幾何意義及其運算。利用奇函數偶次項系數為零求得a=1,進而得到f(x)的解析式,再對f(x)求導得出切線的斜率k,進而求得切線方程。

解：因為函數f(x)是奇函數,所以a-1=0,解得a=1,所以f(x)=x3+x,所以f'(x)=3x2+1,所以f'(0)=1,f(0)=0,所以曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f'(0)x,化簡得y=x。故選D。

小結：該題考查的是有關曲線y=f(x)在某個點(x0,f(x0))處的切線方程問題,在求解的過程中,首先需要確定函數解析式,此時利用到結論:在多項式函數中,奇函數不存在偶次項,偶函數不存在奇次項,從而求得相應的參數值,然后利用求導公式求得f'(x),借助于導數的幾何意義,結合直線方程的點斜式求得結果。

例2 若函數f(x)=a x2+xl nx有兩個極值點,則實數a的取值范圍是( )。

分析：本題利用導數研究零點問題。求導,將函數有兩個極值點轉化為導函數有兩個不同的正零點,再求導,將函數有零點轉化為判定極值的符號。

解：因為函數f(x)=a x2+xl nx有兩個極值點,所以g(x)=f'(x)=2a x+1+l nx=0有兩個不同的正零點。因為g'(x)在(0,+∞)上恒成立,則g(x)在(0,+∞)上單調遞增,g(x)=0不可能有兩個正根(舍)。

小結：(1)研究函數問題要注意“定義域優先原則”,否則會出現增根,從而導致出錯;

(2)利用導數研究函數存在極值問題時,要注意轉化為其導函數有兩個不同的零點,而判定函數的零點的個數,往往轉化為判定函數的單調性和極值的符號。

例3 設函數f'(x)是定義在(0,π)上的函數f(x)的導函數,有f'(x)c o sx-

A.a＜b＜c B.b＜c＜a

C.c＜b＜a D.c＜a＜b

分析：構造函數g(x)=c o sx·f(x),求導,通過判定導數的符號確定函數的單調性,再進行比較大小。

解：令g(x)=c o sx·f(x),因f'(x)·c o sx-f(x)s i nx＞0在(0,π)上恒成立,所以g'(x)=f'(x)c o sx-f(x)s i nx＞0在(0,π)上恒成立,即g(x)在(0,π)上單調遞增,則

小結：本題利用導數研究函數的單調性,解決本題的難點在于結合“f'(x)c o sxf(x)s i nx＞0 在(0,π)上 恒 成 立”和這需要學生對導數公式及其結構非常熟練。

例4 已知函數f(x)=2 s i nx+s i n2x,則f(x)的最小值是____。

解：f'(x)=2 c o sx+2 c o s2x=4 c o s2x時函數單調增,從而得到函數的減區間為

小結：該題考查的是有關應用導數研究函數的最小值問題,在求解的過程中,需要明確相關函數的求導公式,需要明白導數的符號與函數的單調性的關系,確定出函數的單調增區間和單調減區間,進而求得函數的最小值點,從而求得相應的三角函數值,代入求得函數的最小值。

分析：(1)首先確定函數的定義域,然后對函數求導,再對a進行分類討論,從而確定出導數在相應區間上的符號,最終求得函數對應的單調區間;(2)根據f(x)存在兩個極值點,結合第(1)問的結論,可以確定a＞2,令f'(x)=0,得到兩個極值點x1,x2是方程x2-a x+1=0的兩個不等的正實根,利用韋達定理將其轉換,構造新函數并利用其單調性證得結果。

①若a≤2,則f'(x)≤0,當且僅當a=2,x=1時f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減。

(2)由(1)知,當且僅當a＞2,f(x)存在兩個極值點。

由于f(x)的兩個極值點x1,x2滿足x2-a x+1=0,則x1x2=1,不妨設x1＜x2,

小結：該題考查的是應用導數研究函數和不等式問題,涉及的知識點有應用導數研究函數的單調性、應用導數研究函數的極值問題,在解題的過程中,需要明確導數的符號對單調性的作用,確定函數的定義域,對參數進行討論,并構造新函數來解決問題。

四、跟蹤練習

1.若函數f(x)=2x3-a x2+1(a∈R)在(0,+∞)內有且只有一個零點,則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為____。

解析：由f'(x)=6x2-2a x=0得x=為函數f(x)在(0,+∞)上有且僅有一個零點且f(0)=1,所得a=3。從而函數f(x)在[-1,0]上單調遞增,在[0,1]上單調遞減,所以f(x)max=f(0),f(x)min=m i n{f(-1),f(1)}=f(-1),所以f(x)max+f(x)min=f(0)+f(-1)=1-4=-3。

小結：對于函數零點個數問題,可利用函數的單調性、草圖確定其中參數取值條件。從圖像的最高點、最低點,分析函數的最值、極值;從圖像的對稱性,分析函數的奇偶性;從圖像的走向趨勢,分析函數的單調性、周期性等。

2.如圖1所示的陰影部分是由x軸,直線x=1及曲線y=ex-1圍成,現向矩形區域O A B C內隨機投擲一點,則該點落在陰影部分的概率是( )。

圖1

小結：定積分應用。先由定積分求出陰影部分面積,再利用幾何概型即可求出點落在陰影部分的概率。