集合中的易錯點

■河南省息縣第一高級中學 曹國文

集合的學習,為函數的一一對應打下基礎,同時為以后函數的定義域、值域、解集的學習等打下基礎。可以這樣講,沒有集合,函數就很不完整。現代數學也是完全建立在集合基礎上的。

下面來談談同學們在集合學習中容易出現的問題:

警惕1——忽視集合元素的互異性

例1 若集合A中有三個元素x,x+1,1,集合B中也有三個元素x,x2+x,x2,

錯解:x=±1。

剖析：出現錯解是因為由方程組求得x=±1后,忽視對求出的值進行檢驗,從而得出錯誤的結論。因為A=B,所以經檢驗,x=1不符合集合元素的互異性,而x=-1符合。所以x=-1。

易錯防范：當集合中的元素含字母并要求對其求值時,求出的值一定要加以檢驗,看是否符合集合元素的互異性。

跟蹤訓練1 若集合A中含有三個元素x-3,2x-1,x2-4,且-3∈A,則實數x的

正解：①若x-3=-3,則x=0,此時A={-3,-1,-4},滿足題意。

②若2x-1=-3,則x=-1,此時A={-4,-3,-3},不滿足元素的互異性。

③若x2-4=-3,則x=±1,當x=1時,A={-2,1,-3},滿足題意;當x=-1時,由②知不合題意。

綜上可知x=0或x=1。

易錯點：忽視檢驗的步驟,沒有看是否符合集合元素的互異性。

警惕2——忽視描述法表示集合中的代表元素

例2 已知集合A={x|y=l n(1-2x)},B={x|ex＞1},則( )。

錯解:A。

剖析：出現錯解是因為解答時沒看清代表元素,A集合表示的是函數y=l n(1-2x)的定義域。

易錯防范：對這樣的題要搞清楚代表元素是誰,求出代表元素表示的范圍,進而求集合運算。

易錯點：把集合A,B中的代表元素是點集錯看成是數集。

警惕3——忽略了空集的存在

例3 已知A={x|3≤x≤2 2},B={x|2a+1≤x≤3a-5},若B?A,則a的取值

剖析：錯解中漏掉了B=?的情況,因為B?A,所以分B=?或B≠?。當B=?時,3a-5＜2a+1,可得a＜6。

易錯防范：(1)遇到A∩B=?時應注意“極端”情況A=?或B=?。(2)在應用條件A∪B=B?A∩B=A?A?B時,不要忽略A=?。

跟蹤訓練3 已知A={x|x2+4x+4=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中a∈R。如果A∩B=B,求實數a的取值范圍。

正解：x2+4x+4=0,解得x=-2,所以A={-2}。因為A∩B=B,所以B=?或{-2}。所以Δ=4(a+1)2-4(a2-1)≤0,解得a≤-1。當a=-1時,B={0},舍去。所以實數a的取值范圍是(-∞,-1)。

易錯點：忽略B=?,從而認為-2是集合B中方程的根而出錯。

警惕4——忽略補集思想的應用

例4 已知集合A={x|x2-4x+2m+6=0},B={x|x＜0},若A∩B≠?,求實數m的取值范圍。

錯解:有些同學往往從正面入手,分類較多,容易漏解。

剖析：此例應從反面入手,先求A∩B=?時m的取值范圍,分兩類:①當A=?時,方程x2-4x+2m+6=0無實根,所以Δ=(-4)2-4(2m+6)＜0,解得m＞-1。②當A≠?,A∩B=?時,方程x2-4x+2m+6=0的根為非負實根。設方程x2-4x+2m+6=0的兩根為x1,x2,則得-3≤m≤-1。綜上所述,當A∩B=?時,m的取值范圍是{m|m≥-3}。此時求補集要注意全集,又因為U=R,所以當A∩B≠?時,m的取值范圍是?U{m|m≥-3}={m|m＜-3}。

易錯防范：(1)若從正面解決分很多類比較棘手易錯,用補集的思想解決問題思路會清晰得多。(2)此題易忽視指明U=R而直接得出結論,造成解題步驟不完整而失分。

跟蹤訓練4 已知集合A={x|2m-1＜x＜3m+2},B={x|x≤-2或x≥5},是否存在實數m,使A∩B≠??若存在,求實數m的取值范圍;若不存在,請說明理由。

正解：先求A∩B=?時m的取值范圍。

①當A=?時,2m-1≥3m+2解得m≤-3。

易錯點：從正面解決分類多,易漏解。

警惕5——忽略數形結合在集合問題中的應用

例5 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定義集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},則A⊕B中元素的個數為( )。

A.7 7 B.4 9 C.4 5 D.3 0

錯解:有些同學無從下手。

圖1

剖析：例題中的集合是整點集,運用平面直角坐標系處理很直觀,因為集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合A中有5個元素(即5個點),即圓中的整點,如圖1,集合B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中有2 5個元素(即2 5個點),即圖中正方形A B C D中的整點,集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}中的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整點(除去四個頂點),即7×7-4=4 5個。

易錯防范：(1)本例中是整點集,運用平面直角坐標系處理很直觀。(2)列舉法常借助V e n n圖解題。(3)描述法常借助數軸來運算,求解時要特別注意端點值。

跟蹤訓練5 已知全集U={x|x＜1 0,x∈N*},A={2,4,5,8},B={1,3,5,8},求?U(A∪B),?U(A∩B),(?UA)∩(?UB),(?UA)∪(?UB)。

解析：因為A∪B={1,2,3,4,5,8},U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以?U(A∪B)={6,7,9}。

因為A∩B={5,8}所以?U(A∩B)={1,2,3,4,6,7,9}。因為?UA={1,3,6,7,9},?UB={2,4,6,7,9},所以 (?UA)∩(?UB)={6,7,9}。(?UA)∪(?UB)={1,2,3,4,6,7,9}。

圖2

作出V e n n圖,如圖2所示,由圖形也可以直接觀察出來結果。

易錯點：求集合元素時易漏,易混。

警惕6——對集合中的新定義問題往往理解不透而出錯

例6 對于任意兩個正整數m,n,定義某種運算“※”如下:當m,n都為正偶數或正奇數時,m※n=m+n;當m,n中一個為正偶數,另一個為正奇數時,m※n=m n。則在此定義下,集合M={(a,b)|a※b=1 6}中的元素個數是( )。

A.1 8 B.1 7

C.1 6 D.1 5

錯解:有的同學對新定義理解不透,從而出現漏掉個別元素。

剖析：根據新定義,在M={(a,b)|a※b=1 6}中,有1+1 5=1 6,2+1 4=1 6,3+1 3=1 6,4+1 2=1 6,5+1 1=1 6,6+1 0=1 6,7+9=1 6,8+8=1 6,1×1 6=1 6,集合M中的元素是有序數對(a,b),所以集合M中的元素共有8×2+1=1 7個。故選B。

易錯防范：(1)正確理解新定義;(2)把定義研讀清楚,不要妄加猜測。(3)看清楚新定義中的集合的代表元素具備的條件。

跟蹤訓練6 設I={1,2,3,4},A與B是I的子集,若A∩B={1,3},則稱為一個“理想配集”,那么符合此條件的“理想配集”(規定(A,B)與(B,A)是兩個不同的“理想配集”)的個數是 ( )。

A.4 B.8 C.9 D.1 6

正解：當A={1,3}時,B={1,3},或B={1,2,3},或B={1,3,4},或B={1,2,3,4},共4個“理想配集”;當A={1,2,3}時,B={1,3},或B={1,3,4},共2個“理想配集”;當A={1,3,4}時,B={1,3},或B={1,2,3},共2個“理想配集”;當A={1,2,3,4}時,B={1,3},共1個“理想配集”。所以符合條件的“理想配集”有9個。

易錯點：正確理解新定義是防范錯誤的關鍵。