一道幾何題的證明探究

陳正畢

巍山縣第二中學(xué) 云南大理 672400

平時(shí)很多問題可以一題多解，從不同的角度看問題，從不同的方向處理問題，對(duì)問題的理解更深刻。一題多解可以充分調(diào)動(dòng)我們思維的積極性，提高我們綜合運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解答數(shù)學(xué)問題的技能技巧，開闊我們的思路。

下面是一個(gè)很好的例子。

這是一道課本例題，探究一下向量等方法解題的應(yīng)用。

高中數(shù)學(xué)教材（新課標(biāo)人教A版）必修4(第110頁，例2)

題設(shè)：如圖， 中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？

解法1：教材解法大意（向量常規(guī)方法，平面向量基本定理的應(yīng)用）

借助平面向量基本定理，且用不同向量表示同一向量，進(jìn)行相應(yīng)的推導(dǎo)，得出

利用平面向量基本定理

把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系

AR=RT=TC

解法2：利用向量中的一個(gè)性質(zhì)：已知

解法3：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，B點(diǎn)在x軸上，建立直角坐標(biāo)系，用直線斜率。

如右圖所示，設(shè)B(b,0)，D（a,c），那么

由斜率公式

所以，AR=RT=TC

解法4：利用三角形重心性質(zhì)解題，這個(gè)方法也比較簡(jiǎn)單。

如圖，鏈接BD交AC于O

由題意可知R、T分別是△ABD、△BCD的重心。

培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的途徑是多渠道的，及時(shí)歸納總結(jié)，多解歸一，加深對(duì)問題實(shí)質(zhì)性的理解。

向量方法應(yīng)用舉例

[變式訓(xùn)練]：已知 a2+b2=1,x2+y2=1,求證：ax+by≤1。

分析：此題雖然難度不大,但是除用分析法和綜合法外，還可以用向量法，此方法也比較簡(jiǎn)潔可行。

所以ax+by≤1。

其中，向量解法的引入給幾何問題的解決帶來了巨大的便利，對(duì)解決幾何問題引起質(zhì)的飛躍，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，例如二面角問題、空間距離等，引入空間向量后打破堅(jiān)冰，變得容易了不少。平面幾何也如此，用好平面向量，有些問題便簡(jiǎn)化了解題步驟和運(yùn)算。