以形助陣 巧解高考離心率問題

刁金杰

東莞市電子科技學校 廣東東莞 523710

離心率是圓錐曲線的一個重要性質，因此在高考中常以小題的形式出現。這類問題有著濃厚的幾何特征，若能深入挖掘、巧妙利用，往往就能破解玄機。

例1【08江西理7】已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（）

例2【07湖南理 9】設F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，若在其右準線上存在使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）

【評析】這是一道較難的選擇題，學生不易從條件中發現不等關系，從而確定離心率的取值范圍。關鍵語句“右準線上存在P使線段PF1的中垂線過點F2”。嘗試著畫圖，圖像告訴我們，問題可以轉化為“以為F2圓心，焦距為半徑畫圓。當圓與右準線有交點時，交點P與F1的連線就是圓的一條弦，弦的中垂線必過圓心F2。”在深入挖掘其幾何特征后，我們揭開了本題的神秘面紗，其本質是直線與圓的位置關系問題。所以，只需 。即

【評析】本題幾何特征比較明顯，作出圖像后我們便可發現△OAP是等腰直角三角形，

例4【08全國Ⅰ理21】雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為 ，經過右焦點F垂直于 的直線分別交 于A,B兩點。已知成等差數列，且同向．（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

【評析】本題條件較多，最好先轉化為圖形語言。

于是，離心率的幾何特征便顯現了：

通過以上4例，我們可以看出重視幾何特征對于解離心率問題常能起到事半功倍的效果。