轉化思想在小學數學中的應用

樂明勝

摘 要：轉化思想作為一種重要的數學思想，體現在數學學習的各個階段。數學的教學不能簡單地教授數學知識，而應該滲透數學方法和數學思想。學生學習數學也不能簡單堆砌、累積數學知識，而是要將所學的知識內化，要能夠靈活應用知識。在小學數學課本中，編排教材時都根據學生的理解水平滲透了這種思想。通過對一些舊知識的轉化能得到新知識，通過對一些復雜問題的轉化能夠使問題變得簡單且易于解決。本文就對小學課本中存在的一些轉化思想作了系統的研究和歸納。

關鍵詞：轉化思想 等價轉化 構造轉化

一、轉化思想的定義及分類

什么是轉化思想呢？要搞清這個問題，首先我們就得弄清什么是轉化。轉化又稱為化歸，它是指將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納為已知的、熟悉的、簡單的問題，從而使問題得以順利地解決。而轉化思想就是應用轉化的一種思維方法。當然，轉化思想的核心是要將未知的問題轉化為已知的問題，將陌生的問題轉化為熟悉的問題，將復雜的數量關系問題轉化為簡單的數量關系問題。這種思維方法始終貫穿在數學中，理解了這些轉化思想就可以起到事半功倍的效果。我們經常用到的轉化思想有：復雜簡單轉化、模型轉化、一般特殊轉化、等價轉化、聯想轉化、類比轉化、構造轉化等。

二、有關轉化思想的具體應用及實例

轉化思想作為一種最普遍的數學思想，在小學數學中的應用是非常廣泛的，下面我們就來看一看一些具體的應用及實例。

（一）復雜簡單轉化

復雜簡單轉化是指將一些復雜的數量關系轉化為簡單的數量關系。這種轉化思想通常體現在簡便計算上。如計算9999+999+99+9，如果直接計算則比較難算，可以將9999轉化為10000-1，999轉化為1000-1，99轉化為100-1，9轉化為10-1，整個算式可轉化為10000+1000+100+10-4，這樣就能使計算簡便。

（二）模型轉化

所謂模型轉化是指將某一類數學問題抽象轉化為某一具體的數學模型，借助這一個模型使得這一類問題能夠被更好地解決。一個正確的數學模型在形式上應當是簡單的。[1]從這個角度看，當把一個數學問題抽象成一個數學模型后，利用這個數學模型便可以讓我們方便地解決這類問題。雞兔同籠問題原是討論一個籠子里有雞和兔，已知有多少個頭，多少個腳，問雞和兔各有多少只？當數值較小時可以用列表法，然后從表中觀察雞、兔腳只數的變化，得到了在頭數不變的前提下，每增加一只兔就會多兩只腳，每增加一只雞就會少兩只腳。如果假設全是雞，那么籠子里就會多了腳，因為一只兔子比一只雞多兩只腳，正因為籠子里還有兔子所以都會多出腳來，用多出的腳數除以2就得到了兔子的只數，再用頭數減去兔子的只數就得到了雞的只數。這是一個典型的解法，那么對這樣一類的問題就可以抽象為這個模型，利用假設法加以解決。同樣，植樹問題及鴿巢原理亦是如此。

（三）一般特殊轉化

一般特殊轉化包含了兩個方面：一方面是將要求解的問題轉化為特殊形式來解決；另一方面是通過解決一般性問題而使得特殊問題得以解決。學習有關數的性質、簡單數學運算知識是通過將一般問題轉化為特殊的、個別的應用題或圖形，通過觀察、計算、分析、比較后歸納出具有一般性的結論。而對于圖形的認識，則是對具體的個別圖形進行分析和研究，歸納出圖形的共同屬性。如三角形的認識，通過觀察一個三角形得出：任何一個三角形都有三個角、三條邊、三個頂點。

（四）等價轉化

等價轉化是把未知的問題轉化到在已有知識范圍內可解決的問題的一種思維方法。等價轉化主要體現在“等價”二字上，任何轉化擺脫了“等價”，一切都是徒勞。這種轉化主要有三種形式：數與形的轉化、數與數的轉化、形與形的轉化。

1.數與形的轉化

數與形的轉化是指應用數與形的關系將兩者進行結合，以便更直觀的了解數或形的變化情況及特征。通常它包括了兩個方面：一方面是利用數來精確地闡明形的某些屬性，即“以數解形”；另一方面是借助于形來直觀描述數量之間的關系，即“以形助數”。在學習正比例關系和反比例關系時就可用數與形結合來闡明兩種量的變化關系。如正比例關系中，兩種相關聯的量，一種量變化另一種量也隨著變化，這兩種量所對應的兩個數的比值一定。將其轉化為圖形能更直觀地了解數量間的變化情況。

2.數與數的轉化

數與數的轉化是指在將一個數等價的轉化成另一種數或一個式子。在計算99×87時可將99轉化成100-1，然后再用乘法分配律進行求解較為方便，這就是數與數的轉化。另外，小數、分數和百分數之間的轉化也屬于數與數的轉化。

3.形與形的轉化

形與形的轉化指的是在不改變我們所要求的形的某種屬性（如周長、面積等）的情況下將這個圖形等價轉化成另外一種我們所熟知的圖形，以便于求它的某些屬性。形與形的轉化多體現在多邊形的周長和面積的推導與計算中。小學階段學習四邊形的面積是從長方形開始的，在學習了長方形面積后依次涉及平行四邊形、梯形、三角形、圓等平面圖形的面積。推導平行四邊形面積時是將平行四邊形沿高切開再拼成一個長方形，長方形的長和寬分別與平行四邊形的底和高相等，由于面積不變，所以這個長方形的面積就是的平行四邊形面積，故平行四邊形面積是底乘高。梯形則是將兩個同樣的梯形拼接成一個平行四邊形，這個平行四邊形的高與梯形的高相等，底是梯形的上底與下底的和，故這個平行四邊形的面積是上底與下底的和再乘高，而梯形面積是平行四邊形面積的一半，所以再用這個平行四邊形面積除以2。三角形的面積推導類似于梯形面積的推導，先將兩個同樣的三角形拼成一個平行四邊形，這個平行四邊形的底和高分別與三角形的底和高相等，一個三角形的面積就是這個平行四邊形面積的一半，所以三角形的面積是底×高÷2。圓面積的推導則是將圓等價轉化成一個長方形（當切割的小扇形份數越多，則拼成的圖就越接近長方形，當切割的份數無限多時，拼成的圖就是一個長方形，這是極限的思想），長方形的長和寬分別等于圓周長的一半πr和圓的半徑r。由于長方形的面積與圓的面積相等，所以圓的面積就是πr2。另外對于求陰影部分這樣的題型，多數情況下也是將其等價轉化成我們所熟知的圖形或易于求解的圖形進行計算。

圓柱的側面是一個曲面，當沿高將側面剪開，展平后就得到了一個長方形，這個長方形的長和寬分別與圓柱的底面圓的周長和高相等，因此長方形的面積就是圓柱的側面積。即圓柱的側面積等于底面圓的周長乘高。

小學數學中的等價轉化還體現在空間立體圖形上。六年級下冊教材上求一個瓶子的容積就用到了這個轉化思想。由于瓶子的上部是我們不熟悉的形狀，故可以借助已知體積的液體充滿這個不熟悉的空間。當瓶子倒置時，剩余的空間是一個圓柱，所以將這兩部分體積相加，即可得到瓶子的容積。這個過程充分體現了等價轉化的優越性。同理，當要求一個不規則的石塊的體積時，可以將這個石塊的體積轉化為我們所熟悉的規則的物體的體積。將石塊放入一個裝了水的長方體（或圓柱體）容器中，在石塊沒入水中且水沒有溢出的情況下，前后兩次的體積差就是石塊的體積。

（五）聯想轉化

聯想轉化是指面對一個問題要展開積極大膽地聯想，將這些問題轉化為我們所熟知的或比較簡單的問題。愛因斯坦說：“想像力比知識更重要，知識是有限的，想像力可以囊括世界。”在數學學習中我們會遇到一些陌生的問題，恰當運用聯想轉化可以使問題簡化。如求圓錐的體積時，可以用一個與它等底等高的圓柱進行比較而得到解決的辦法。兩者的關系是將圓錐轉化后的圓柱的高是圓錐高的1/3，故它的體積就是與它等底等高圓柱體積的1/3。通常在進行簡算時，我們也會用到這種轉化思維。計算（76+82）×4+79×2時，因為76+82=158正好是79的2倍，所以此式可以轉化為79×2×4+79×2，進一步轉化為79×10，其解題效率可以大大提高。再如，因為，，，，再將它們相加后就可以將中間的項消去，只乘頭尾兩項，故易得出。像這樣的例子還有很多，這里就不一一列舉了。

（六）類比轉化

類比轉化是指根兩個或兩類對象有部分屬性相同，從其中一類對象屬性類似推理出另一類對象的屬性，從而使問題得以解決。簡而言之就是在已有知識的基礎上去“分析比較，舉一反三”。例如：要推導圓柱的體積可以類比圓的面積的推導進行轉化。圓面積的推導過程是將圓平均分割成偶數份小扇形，拼成一個長方形，那么圓柱在某個角度可以理解為帶有厚度的圓片。則圓柱也可以沿其高切成底面是扇形的幾何體，最終拼合成一個長方體。類比圓的面積推導，長方體底面長為圓周長的一半，寬為圓的半徑，高與圓柱高相等，因此可以得到長方體的體積為πr2h，而長方體體積與圓柱體體積相等，再者πr2又是圓柱的底面積，故圓柱的體積就是圓柱的底面積乘高。在《數法題解》中出現了這樣的題：求下面這個立體圖形的體積（單位：厘米）[2]解題的轉化過程如圖1所示

此類題型可以與梯形的面積的推導產生聯系，用類比轉化的方法這個物體的體積就能求出了。將兩個相同的這樣的幾何體組成一個圓柱體，這個圓柱的高是15+20=35（厘米）。求出這個圓柱的體積再除以2就可以得到這個幾何體的體積了。即3.14×（4÷2）2×35÷2=219.8（立方厘米）。

（七）構造轉化

表面看似無關的兩類問題，通過分析比較可以將一類問題構造成另一類我們所熟悉的問題加以解決，這種方法就是構造轉化。例如：一次籃球比賽我們班全場得了42分，下半場得分只有上半場得分的一半，求上半場和下半場各得多少分？[3]這類題用方程解雖然很方便，但是對于很多小學生來說一涉及到方程就頭疼，通過分析比較我們可以將其構造轉化成另一類更簡單的問題，即按比例分配的問題。全場得分42分，下半場得分是上半場得分的一半，說明上半場得分：下半場得分=2：1，知道兩個量的和及兩個量的比就可以用按比例分配解，可得上半場得分為42×=28（分），下半場得分：42×=14（分）。尤其是對一些復雜的問題，有時用方程解雖然方便但是對很多小學生而言列方程不易解方程更難，故對一些特殊的題型可以采用這種構造轉化的方法加以解決。例如：光明小學五年級原來的男生人數是女生人數的4/5，后來又轉來3名男生，現在男生人數是女生人數的5/6。現在有男生多少名？[4]用方程和構造轉化兩種方法解題如下：

通過比較兩種解法，顯然構造轉化的解法簡單，其計算量及計算難度也更小。

三、小結：

轉化思想是多種多樣的，而且各種轉化思想間也存在一定的聯系，甚至是包含關系。這種思想以數學知識為載體廣泛存在于小學數學中，雖然在解決問題時沒有一個固定的模式，但我們要善于發現各種數學知識間的聯系，靈活運用轉化思想，使我們的思維更開闊，解題更高效。

參考文獻：

[1] 吳軍，2012年6月，《數學之美》，175頁，人民郵電出版社；

[2] 《數法題解與達標訓練》編寫組，2017年1月，《數法題解與達標訓練 人教版六年級下冊》，47頁，湖南少年兒童出版社；

[3] 湖南省教育科學研究院，2015年7月，《同步實踐評價——課程基礎訓練數學六年級上冊》，34頁，湖南少年兒童出版社出版。