深刻理解概念實質方能落實核心素養
———兼評鮑善軍、傅華峰兩位教師《認識方程》一課

劉 松（特級教師）

一、曾經的困惑

十幾年前，在一次教學研討會上，筆者有幸應邀去上《列方程解決問題》一課。上課之初，自然提出三個問題：1.學過方程嗎？2.什么是方程？3.方程是干什么用的？前兩個問題，學生異口同聲，對答如流，可第三個問題，全班50多位學生竟然面面相覷，無人作答。這不禁讓筆者產生了深深的困惑。

再換個角度思考問題。小學階段學習方程，僅從實用的角度分析，學習方程的重要目的之一就是應用，也就是列方程解決實際問題。眾所周知，列方程解決問題有五大步驟，其中最核心的一步就是找出問題中包含的等量關系，然后列出方程。試想，倘若學生對“等量關系”和“方程”之間缺乏本質的理解，如何能深刻地把握列方程解決問題的關鍵所在？

《認識方程》是一節傳統名課，教師大都是按照如下流程開展教學的：首先出示一架天平（實物或卡通模型），然后讓學生在天平上擺物品，由此會列出許多式子，再讓學生給式子分類，無論學生怎么分，教師兩次追問，總能得出“含有未知數的等式”，至此，得出結論，而后判斷練習，鞏固概念，一節課結束。如此教學，非常流暢，甚至堪稱經典，我們廣大的一線教師照搬模仿即可。但正是如此經典，它卻遺留了上述的困惑。何故？

于是，我不停地追問自己，《認識方程》一課究竟該教什么？又該怎么教？

二、真實的調研

2013年10月，筆者對本校五、六年級成績最好的兩個班共76名學生做了突然性的前測和后測。調查啟示如下：

1.學生在上《認識方程》一課之前，對方程并非一無所知，對含有未知數的等式更不陌生。

2.對于嘗試寫方程，即便教師沒教過，也有學生會寫（且比例還不低）。

3.對于是否為方程的判斷，學過和沒學過的學生差異很大。測試中判斷x－14＞72是否為方程的錯誤率最高。六年級還有學生出錯，為何？值得思考。

4.對于方程和等式的關系，即便六年級了，依然有學生出錯，排除偶然因素外，不得不承認這恰恰是學生認知和學習的難點之一。

5.即便是六年級的學生，對“為什么會有方程（或者方程是怎么產生的、方程是干什么的）”也僅有不到8%的學生能回答到位。五年級更是全軍覆沒，有高達57.9%的學生空著沒寫。

三、可能的策略

1.引入自學。

從前測的數據中可以看出，學生在學習方程之前，對方程并非一無所知。即便是學生一無所知，對五年級的學生而言，在書上找到“含有未知數的等式叫方程”這句話很容易，且學生自一年級起就接觸過諸如6+（）=14等類的式子，對這句話的理解也不難。再退一步說，僅從字面上分析，學生自己也可以得出滿足方程的兩個必要條件：含有未知數和等式。既然如此，為什么不可以安排學生先自學課本呢？不先出現天平不行嗎？

可能有的教師會質疑，傳統的教法先出示天平好啊，況且許多版本的教材也是這樣編排的。對此，筆者認同但并不完全贊同。且不說是“教教材”還是“用教材教”的問題。試問：對方程而言，究竟是天平的外形更重要還是背后的相等思想更重要呢？答案是顯而易見的。既然天平背后的相等思想是關鍵，那我們為何不想盡辦法讓學生去感悟相等，何必僅僅拘泥于天平的形式呢？

2.顛倒敘述。

從前后測可以看出，在判斷x－14＞72是否為方程時，學生的錯誤率最高。五年級學生出錯尚可理解，六年級學生依然出錯，似乎不可原諒。但仔細想想，是否存在這樣的可能，之所以有這么多學生出錯，恰恰是教材編寫所致。筆者認真查閱了國內五大版本的數學教材，對于方程的定義，都是這樣描述的：含有未知數的等式叫方程。此話當然沒錯，但沒錯不代表就沒有“副作用”。試想，如此偏正結構式的語句，關鍵核心詞在哪？顯然在后面，但首先映入學生眼簾的恰恰是含有未知數五個字。對部分五六年級的學生而言，是不是就先入為主，只記住“含有未知數”幾個字了呢？這不就是俗稱的第一印象效應嗎？若如此，又該如何避免此類錯誤的出現呢？

為此，可在板書上做些改變。多年來，筆者對板書有一個基本的認知，板書如果僅僅是把書上的原話照抄在黑板上是沒有多大意義的。如果一定要板書，則要對書上的原話做一些技術處理。當學生自學找到方程的定義后，在交流和追問的同時，黑板上留下了這樣一個式子：“方程 =①等式 +②未知數”，而后反復引導學生敘述：含有未知數的等式叫方程。反過來，方程就是等式中含有未知數。如此，不僅可以很好地凸顯方程的等式本質，還可以在一定程度上避免學生的上述錯誤。其實，對方程而言，如果可以比較的話，究竟是等式更關鍵，還是有未知數更重要呢？兩者當然都重要，可以說各占50%。但筆者認為“相等”才是方程的靈魂所在。若果真如此，我們為何不好好地利用一下第一印象效應呢？

3.強化體驗。

鄭毓信教授曾言，小學數學概念教學有三要素：一要講清概念是什么，二要說明為什么，三要厘清此概念與彼概念的區別和聯系。其中第二個要素，往往被教師忽視，但這恰恰是學生最缺乏、最需要的。為什么會有方程？如何讓學生體會到方程的產生？如何讓學生感悟方程是現實世界中刻畫相等關系的最美麗的模型這一重要思想？筆者認為，可嘗試從源頭上解決問題。為此，在學生自學完方程的定義、初步解讀后，連續出示三個問題情境（如下圖1、圖2、圖3），要求學生用一個數學式子表示情境中包含的相等關系。

圖1

圖2

圖3

學生自然列出x+5=10，4x=380，2x+200=2000 三個式子，并板書在黑板上。針對每一個式子，反復引導學生互動追問：寫的對嗎？是方程嗎？為什么是方程？如此，不僅有效地避免了教師出題、學生判斷的木偶式學習方式，更為重要的是，學生在不斷地用數學式子表達相等關系的過程中，自然體悟到了方程產生的原因。隨著教師的調侃：他怎么一不小心又寫出一個方程啊！學生就會逐漸地明白，方程其實并不神秘，它就是數學中表達相等關系的自然結果。為什么就決定了可以干什么，能干什么則取決于為什么。至此，方程的作用不言而喻，學生自己就可以說出方程即是表達相等關系的。

4.結構呈現。

針對方程和等式的關系這一難點。遵循思維可視化的原則，引導學生自己說出：方程是等式，等式不一定是方程。如何做到呢？可采用關鍵詞追問策略。當學生板書完 x+5=10，4x=380，2x+200=2000三個方程后，追問：方程式還有別的可能嗎？學生自然答出方程式有無窮多。然后再追問：即便是無窮多，這些式子都具有什么共同的特點？學生馬上應答：等式、含有未知數。而后繼續追問：是否有等式中不含有未知數的可能？反過來，是否有含有未知數但不是等式的可能？學生思考后板書。此刻，黑板上會有許多式子。教師則可趁熱打鐵繼續追問：誰能用一個圈把黑板上所有的方程圈出來？誰還能用一個圈把黑板上所有的等式圈出來？……

至此，黑板上會呈現一幅學生自己的“作品”，對著圈套圈提問：誰能發現什么？悟性好的學生即刻明白。因為有直觀圖的支撐，“方程是等式，等式不一定是方程”這兩句話雖然沒寫出來，但意思已躍然紙上。而后在游戲練習中再植入12+8，追問：12+8應該放到哪個圈內？學生感覺都不合適，教師順手在最外面再畫一個大圈，板書：式子。至此，結構化板書大功告成。如此，學生不僅明白了方程與等式的關系，置身于數學式子的大家庭，還可以對方程也是一種數學表達式增加幾分理解！

如上，《認識方程》該教什么、該怎樣教就相對比較清晰了。

四、欣喜的現在

近年來，隨著許多專家研究的深入，廣大一線教師越來越清楚了方程意義的本質。正如鮑老師在課前思考中所言：方程的本質是什么？簡單地說，就是左右兩邊數量相等，這不僅是方程概念的本質，也是列方程解決問題的依據。陳重穆教授曾撰文呼吁：“含有未知數的等式叫做方程”這樣的定義要淡化，不要記，無須背，更不要考。關鍵是要理解方程思想的本質，它的價值與意義。張奠宙教授對方程重新定義：“方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系。”可見，“含有未知數的等式叫做方程”并非方程的嚴格定義，僅是一種樸素的描寫，方程的意義不在于概念本身，而在于方程的本質特征：要“求”未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系。筆者更喜歡史寧中教授在《試論數學推理過程的邏輯性》一文中的詳細解讀，部分摘錄如下：如果數學的定義不夠清晰，就必然會影響數學命題的確切性，進而影響數學推理的有效性。作為例子，討論一個現在仍然在使用的數學定義。在現行的中小學數學教科書中，關于方程的定義是這樣的：稱含有未知數的等式為方程。這個定義是屬加種差的形式：等式是“屬”、方程是“種”、含有未知數是“種差”。但是，含有未知數的等式未必就是方程，比如2x-x=x是一個含有未知數的等式，可這個等式表示的是符號運算，不是通常意義所說的方程。為什么會出現這樣的情況呢？問題出在定義中的“種差”，在上述定義中的種差“含有未知數”這個性質不足以約束構成方程的等式。按照通常理解，所謂等式就是含有等號的數學式子，而等號具有兩個功能：第一個功能是表示數值（包括符號）運算的傳遞性，第二個功能是表示等式兩邊的數量相等。因此，第一個功能只是在講述一個故事，在這一個故事中數值（包括符號）是等價的、是可以遞推的；第二個功能必須講述兩個故事，在這兩個故事中兩個數量的意義可以不同、但數量相等。方程利用的是等號的第二個功能，而反例2x-x=x利用的是等號的第一個功能，基于這個理由，含有未知數的等式就不一定是方程。因此，要構建方程的實質定義，除卻未知數這個要素外，還必須在性質中或者說在種差中彰顯等號的第二個功能。比如，可以把方程的定義表述如下：稱含有未知數的表示等量關系的等式為方程。

綜上，可以看出專家們的觀點幾乎是一致的。那就是，關于方程意義的教學，強調方程的等量關系比單純強調方程中的未知數更便于學生理解和把握方程的本質。事實上，學生只有把握了概念本質，用顧沛教授的話說，才可能一通百通。如此教學，不僅可有效避免筆者曾經的困惑，更重要的是，還能使當下熱議的學科核心素養有效落實。

鮑善軍和傅華峰兩位教師的教學設計雖不盡相同，但在突出等量關系上卻是出奇的一致。雖然，傅老師的設計看似有些偏傳統，但教學上好的經典當然也該繼承，只要做到與時俱進，相機糅入新的形式、新的認知，更有利于學生學習即可。鮑老師的教學改革力度很大，教學效果不錯，但略顯遺憾的是，對于等號兩個功能的解讀，學生感悟可能不夠深刻。記得鄭毓信教授曾說：在算術中我們主要是從“操作（過程）的觀點”看待“=”的，等號的左邊表明我們應當實施哪些計算，得出的結果則應寫在右邊；也正因此，等式的兩邊就是不對稱的，即有明確的方向性。與此不同，方程中對于“=”的理解則體現了這樣一種觀念：這主要代表了一種關系——等量關系，其本身也不具有任何的方向性。上述的觀念對立并可被看成代數思維與算術思維的主要區別之一。也正因此，“方程”的教學就可被看成為我們在小學階段初步滲透“代數思想”提供了重要契機。在教學中若能有意識地去引入一些“非標準變式”，如：將4x+7=35變形為4y+7=35，以及進一步變形為 4（2r+1）+7=35等等，另外一些更為復雜的變式：6=14-3x，6+x=14-7x，25+x=y-28等。從而幫助學生更好地實現由“過程（操作）性觀念”向“結構性觀念”的重要轉變，也就是所謂的兩個不同的故事，但數量相等，應該會有更深的體悟。

當然，由于《認識方程》是學生首次正式接觸到了“方程”這樣一個概念，因此，在第一課時就期望學生清楚地認識方程方法相對于算術方法的優越性應當說也完全不切實際。“代數思想”“方程觀念”等需要循序漸進，逐步提升。但當練習時，有學生列出45+128=x，也認為是方程，教師不要回避則是必須的。

限于篇幅，不再贅述。兩位教師及筆者的表述依然還有許多不足，懇請各位方家指正！