一道課本習題的變式探究

陳志睿

變式是通過變換同類事物的非本質特征的表現形式，在變式中思考，從而掌握事物的本質和規律。從變中體會不變、理解本質、發現規律。通過舉一反三，達到對所學知識的融會貫通，優化認知結構，提高學習效率，并從中體會數學的魅力和學習的樂趣。下面就探究一下習題的變式及應用：

經過橢圓 +y =1的左焦點F 作傾斜角為60 的直線與橢圓相交于A，B兩點，求AB的長。

1.變式

（1）變式一：經過橢圓 +y =1的左焦F 點任作一直線與橢圓相交于A，B兩點，求AB長的最大值與最小值。

解：當AB的斜率不存在時，求AB= 。當AB的斜率存在時，設斜率為k，將AB的方程y=k（x+1）代入橢 +y =1消去y得：（1+2k ）x +4k x+2k -2=0，設A（x ，y ），B（x ，y ），則△=8（k +1）。故AB= = = 。

設t=1+2k ，則AB= = （1+ ），因t≥1，故

綜上所述：當直線AB垂直x軸時，AB長最小，最小值為 ；當直線AB與x軸重合時，AB長最大，最大值為2 。

（2）變式二：經過橢圓 +y =1的左焦點F 作直線與橢圓交于A，B兩點，設O為坐標原點，求三角形ABO面積的最大值。

解：依題意可知，AB的斜率不為0，故設其方程為x=my-1，代入橢圓方程得：（2+m ）y -2my-1=0，A（x ，y ），B（x ，y ），△=8m +8，則：三角形ABO的面積= OF y -y = = ，設t=2+m ，則：三角形S = = = ，當且僅當t=2， 即直線AB垂直x軸時，三角形ABO的面積最大，最大值為 。

2.結論

（1）兩點A（x ，y ），B（x ，y ）間的距離公式有以下推廣形式：

若直線AB斜率存在，其方程為y=kx+n，則：AB= x -x ；AB= （A，B在同一條圓錐曲線上， 其中ω是二次項系數）。若直線AB的斜率不為0，其方程為x=my+n，則：AB= y -y （A，B兩點不在同一條圓錐曲線上）；AB= （A，B在同一條圓錐曲線上，其中ω是二次項系數）。

（2）過定點（n，0）且斜率不為0的動直線方程設為x=my+n，可避免討論并簡化計算；橢圓 + =1的焦點弦長的最小值為 ，最大值為2a。

3.應用

（1）已知拋物線x =y。點A（- ， ），B（ ， ），拋物線上的點P（x，y）（-

解：（Ⅰ）AP斜率的取值范圍是（-1，1）（略）。

（Ⅱ）聯立直線AP與BQ的方程

kx-y+ k+ =0，

x+ky- k- =0，解得點Q的橫坐標是

x = ，則|PA|= （x+ ）= （kx+1）

|PQ|= （x -x）=

=- ，

所以|PA|·|PQ|=-（k-1）（k+1） ，令f（x）=-（k-1）（k+1） ，因為f（k）=-（4k-2）（k+1） ，所以f（k）在區間（-1， ）上單調遞增，（ ，1）上單調遞減，因此當k= 時，|PA|·|PQ|取得最大值 。

（2）設圓x +y +2x-15=0的圓心為A，直線L過點B（1，0）且與x軸不重合，L交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行直線交AD于點E。

（I）證明EA+EB為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（II）設點E的軌跡為曲線C ，直線L交C 于M，N兩點，過B且與L垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

解：（I） + =1（略）；

（II）設直線L的方程為x=my+1，代入C 的方程消去x得：（3m +4）y +6my-9=0，設，M（x ，y ）N（x ，y ），