遵循認(rèn)知規(guī)律 促進(jìn)數(shù)學(xué)思考

陳華忠

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011）明確指出，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，并把動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流作為重要的學(xué)習(xí)方式，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)。為此，許多教師在課堂實(shí)踐中非常重視讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程。而筆者在聽課時(shí)發(fā)現(xiàn)一些簡(jiǎn)單化處理的做法，有的教師把經(jīng)歷的過程誤認(rèn)為由幾個(gè)步驟組合而成，于是課堂就發(fā)生了一幕幕不易察覺的“分解”現(xiàn)象。本文列舉兩個(gè)案例，深入剖析此類現(xiàn)象，并提出相應(yīng)的解決對(duì)策。

一、以“分解式匯報(bào)”歸納概念

案例一：在教學(xué)《循環(huán)小數(shù)》這一節(jié)課時(shí)，上課伊始，先讓學(xué)生嘗試計(jì)算400÷75= ，并引導(dǎo)學(xué)生觀察這個(gè)豎式，你發(fā)現(xiàn)了什么？接著，讓學(xué)生在小組內(nèi)交流自己的發(fā)現(xiàn)。然后讓學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，計(jì)算28÷18= 和78.6÷11= ，最后，全班交流計(jì)算情況。教師也可以適時(shí)地提出問題：通過計(jì)算與觀察算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生的答案可能五花八門，但每個(gè)學(xué)生的回答都有可取之處。有的學(xué)生說有一個(gè)數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，有的說是兩個(gè)數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，有的說是依次不斷地出現(xiàn)，有的說從第一位開始就重復(fù)，有的說從第二位開始重復(fù)，有的說余數(shù)總是重復(fù)出現(xiàn)某個(gè)數(shù)字……每當(dāng)學(xué)生的回答與課本定義相符時(shí)，教師都要及時(shí)給予肯定，并適當(dāng)進(jìn)行板書，這樣，黑板上就逐漸呈現(xiàn)出了循環(huán)小數(shù)的定義。這時(shí)學(xué)生往往會(huì)漏掉“一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分”，教師可適當(dāng)提醒學(xué)生：這樣重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是從整數(shù)部分開始還是從小數(shù)部分開始？學(xué)生很快知道是從小數(shù)部分開始的。最后，教師讓學(xué)生齊讀黑板上完整的循環(huán)小數(shù)定義。

分析：教材對(duì)循環(huán)小數(shù)是這樣定義的：“一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。”如此長(zhǎng)的句子在小學(xué)數(shù)學(xué)概念中是少見的，學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)進(jìn)行把握確實(shí)有一定的困難，常常會(huì)出現(xiàn)顧此失彼的現(xiàn)象，即抓住其中一方面特征卻考慮不到另一方面，以致無法獨(dú)立完成對(duì)循環(huán)小數(shù)的整體性認(rèn)識(shí)。考慮到這個(gè)概念屬于“復(fù)合概念”，即幾種屬性聯(lián)合在一起對(duì)概念來下定義，在教學(xué)中，許多教師都會(huì)注意到循環(huán)小數(shù)的幾個(gè)屬性：小數(shù)部分、從某一位起、一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字、依次不斷、重復(fù)出現(xiàn)。為了克服以上學(xué)習(xí)困難，我們可以將概念“分解”，通過不同的匯報(bào)促成概念的逐步“形成”。但這種定義的得出與其說是經(jīng)歷了名義上的“概括”過程，不如說是學(xué)生答案的羅列組合。板書雖然是完整的，但這種完整卻是通過零碎的部分拼湊，是靠集體匯報(bào)而成，并沒有使學(xué)習(xí)個(gè)體形成完整的認(rèn)識(shí)，學(xué)生對(duì)循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)仍然停留在初級(jí)階段，對(duì)小數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)把握也是不穩(wěn)定的。

對(duì)策：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基本方式，包括概念的形成與概念的同化兩種形式。在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，概念的形成過程從低到高一般可概括為幾個(gè)階段：辨別、分化、類化、抽象、檢驗(yàn)、概括、形式化。根據(jù)此理解，我們?cè)诮虒W(xué)中進(jìn)行不斷嘗試，采取合理策略達(dá)到了較好的效果，簡(jiǎn)要過程是：第一，感知重復(fù)。教材上例題8就是為了認(rèn)識(shí)循環(huán)小數(shù)提供的感性材料，學(xué)生從計(jì)算400÷75= 中，體驗(yàn)到重復(fù)現(xiàn)象，通過師生、生生之間的交流表述來促進(jìn)對(duì)重復(fù)特點(diǎn)的感悟，為循環(huán)小數(shù)的出現(xiàn)做好鋪墊。第二，分類比較。有了以上的基礎(chǔ)，讓學(xué)生計(jì)算28÷18= 和78.6÷11= ，一種是從某位起出現(xiàn)某個(gè)數(shù)字；另一種是從某位起幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)。從而讓學(xué)生明確同樣是重復(fù)，但從哪一位開始重復(fù)是不一樣的。既知本質(zhì)相同，又明細(xì)節(jié)區(qū)別。第三，概括提升。教師提出問題：觀察三個(gè)算式的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？進(jìn)而讓學(xué)生總結(jié)相同特征，概括這種小數(shù)的本質(zhì)特征，揭示循環(huán)小數(shù)的定義。第四，建立聯(lián)系。教師引導(dǎo)學(xué)生思考，循環(huán)小數(shù)跟我們以前學(xué)過的小數(shù)有何不同？引出有限小數(shù)和無限小數(shù)的概念，從而，建立小數(shù)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步加深對(duì)循環(huán)小數(shù)的理解。

二、以“分解式問題”構(gòu)建公式

案例二：在教學(xué)《平行四邊形的面積》這一節(jié)課時(shí)，課始，教師在課件上呈現(xiàn)了幾個(gè)問題。讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行自學(xué)、思考與嘗試。

（1）圖中的兩個(gè)花壇哪個(gè)大？你是怎么思考的？（書上的情境圖）

（2）通過填寫表格你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）通過剪拼圖形，拼成的長(zhǎng)方形和原來的平行四邊形相比，面積是否發(fā)生了變化？周長(zhǎng)呢？

（4）拼出的長(zhǎng)方形與原來的平行四邊形有什么關(guān)系？你發(fā)現(xiàn)了什么？

（5）你能根據(jù)長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式嗎？

沒有創(chuàng)設(shè)豐富的情境，沒有多余的引入語，教師直接讓學(xué)生邊看書邊嘗試解決上面的幾個(gè)問題。每解決一個(gè)問題，教師就引導(dǎo)學(xué)生交流得出正確結(jié)論，對(duì)不對(duì)的地方進(jìn)行指導(dǎo)和修正，直至最后推導(dǎo)出平行四邊形的面積=底×高，整節(jié)課教學(xué)流程進(jìn)行得非常順利。

分析：琢磨黑板上幾個(gè)問題的設(shè)計(jì)目的，不難發(fā)現(xiàn)，問題（1）由“花壇大小比較”情境引出平行四邊形的面積公式，同時(shí)聯(lián)系了長(zhǎng)方形的面積，為接下來的推導(dǎo)奠定基礎(chǔ)。問題（2）是在數(shù)方格得出面積的基礎(chǔ)上，促使學(xué)生形成初步猜想，為平行四邊形的面積公式做好鋪墊。問題（3）、（4）和（5）是為推導(dǎo)公式所進(jìn)行的引導(dǎo)，通過三個(gè)問題，學(xué)生很容易把握推導(dǎo)的主線，順利推出平行四邊形的面積公式。這樣分析下來，教師所設(shè)計(jì)的問題并非隨意而為，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)具有很大的幫助。同時(shí)，我們也看得出該教師注重學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，符合當(dāng)前的新課程理念。但是教師把公式的推導(dǎo)“分解”成三個(gè)明確的思考路線，提前出示給學(xué)生，暗示過于明顯，無疑降低了探究難度，不僅難以激發(fā)學(xué)生的探究興趣，而且使得學(xué)生對(duì)公式理解不深，“自主探究”也就變成了“越俎代庖”。

對(duì)策：基于以上的教學(xué)設(shè)計(jì)，我想稍作修改，變動(dòng)問題的呈現(xiàn)時(shí)機(jī)，避免這些問題一下子全部出現(xiàn)。首先，創(chuàng)設(shè)花壇大小比較的情境，提出問題（1），達(dá)到引出課題和回憶長(zhǎng)方形面積公式的目的。然后，讓學(xué)生采用以前學(xué)過的數(shù)方格方法得出平行四邊形的面積，提出問題（2），形成平行四邊形的面積等于底乘高的初步猜想。接著，教師提出問題：如果不數(shù)方格，你能想出辦法來推導(dǎo)平行四邊形的面積公式嗎？此問題一出，猶如點(diǎn)燃了學(xué)生探究的導(dǎo)火索，既激發(fā)了探究的熱情，又將探究方向巧妙轉(zhuǎn)移，有效統(tǒng)領(lǐng)了整個(gè)探究過程。在問題的驅(qū)動(dòng)下，通過給學(xué)生提供學(xué)具材料，放手讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、合作交流。在探究過程中，教師對(duì)于比較困難的個(gè)人或小組，可適時(shí)給予提示，并出示問題（3）和問題（4），可以有針對(duì)性地進(jìn)行點(diǎn)撥與引導(dǎo)，以便達(dá)到“四兩撥千斤”的效果。

以上“分解”現(xiàn)象，不僅在平時(shí)課堂教學(xué)中司空見慣，而且在公開課、示范課上也有出現(xiàn)。不難發(fā)現(xiàn)，這些現(xiàn)象普遍存在的原因是，教師主觀地將教學(xué)內(nèi)容采取“分解式”，來體現(xiàn)其形成過程，導(dǎo)致課堂教學(xué)陷入誤區(qū)。透析背后的原因，我們發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象之所以在當(dāng)前課堂教學(xué)中大量出現(xiàn)，與時(shí)下新課改提倡的“過程性教學(xué)”的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)有很大關(guān)系。如何防止走向“分解”誤區(qū)呢？筆者認(rèn)為，首先要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，順應(yīng)學(xué)生的發(fā)展需求，以學(xué)定教；同時(shí)教師要注意從課堂中學(xué)生出現(xiàn)的各種問題入手，深入反思，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，實(shí)現(xiàn)真正意義上的有效教學(xué)。