微積分在高中物理中的應用

鄧圭恩

微積分是高等數學中研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的一個基礎學科。微積分是指求函數曲線的切線斜率、求函數圖形的面積、求圖形的體積的一種方法和過程，在高中物理概念、物理定律都包涵微積分的思想。本文分析了微積分在高中物理的一些具體應用，目的是理解微積分思想的同時也能熟練地運用微積分來解決物理中的問題。

數學作為物理學中的重要工具，它即能準確而又簡潔地表達物理概念和規律，也能為物理提供思維語言和方法。運用數學方法解決物理問題是高中階段學習目標之一，高中生掌握求導和積分的思想及方法，是為物理學習提供了即方便實用又強大的工具。

1微積分在高中動力學中的應用

1.1利用微積分解決變速運動問題

在高中階段，變速運動問題往往是許多同學的難點，很多變速運動問題的模型都很難建立，對許多同學甚至是教師的思維能力都是一個很大的考驗。但微積分知識和思想能幫助大家用更簡潔普適的模型來解決這方面的問題，比如對于下面這一道題：

例2：狐貍沿半徑R的圓軌道以恒定速率v奔跑，在狐貍出發的同時，獵犬從圓心O出發以相同的速率v追擊過程中，圓心、獵犬和狐貍始終連成一直線。

（1）建立相應坐標系，求出獵犬運動的軌道方程，并畫出軌道曲線。

（2）判斷獵犬能否追上狐貍。

這道題是一道經典的物理競賽題，現在也是被選入許多高校的自招理論試題，其經典解法有很多，但絕大多數都復雜冗長，很多同學并不能很好的理解。而如果我們選用微積分的方法，就會得到很容易為大家所接受，也較容易的解法了。

獵犬的軌道曲線如圖中虛線所示。是半徑為 且與原R圓相切于（ ， ）點的半圓。

獵犬、狐貍以相同速率 ，在相同時間內分別經過半徑為 的半圓和半徑為R的四分之一圓，一起到達圖中的P點，獵犬在此追上狐貍。

從這道題的解題中，能明顯看出微積分工具的優越性，追擊的復雜模型用微積分很清晰的表達了出來，我們可以省略掉運動過程中對一些我們難以描述的狀態的研究，使我們很輕松的解出了此題。

1.2利用微積分解決變力功率問題

高中階段物理對于功與功率的探究在課本中內容較少，但卻引申出了許多高考難題。很多同學對此不得不以刷很多的相關題型來記背，這對同學們對物理的熱情產生了很大的打擊，更損傷了同學們了學科思維。如果我們借助微積分來解決相關問題，不僅能較快解出問題，更能深化對相關物理量如力、速度的理解。我們分析一下下題：

例1：系統如圖所示，很小的定滑輪與輕繩間無摩擦，繩的A端由變力F拉動，使A始終具有水平勻速度 ；系統的其他參量均已在圖中示出，求F的功率P。

顯然，此題我們緊扣 與 的關系來解，由受力與牛頓第二定律解出 便解出了此題。以此推論，我們在處理高中的功與功率時緊扣住公式 與 即可。用這種方法也更方便我們去理解物理在這方面的理論與思想。

2微積分在高中電磁學中的應用

2.1利用微積分理解交流電有效值

課本上我們了解到交流電的有效值由其熱效應來定義，并直接告訴了大家正弦交流電的有效值為其電流峰值的 ，但并沒有給我們能輕松理解的解釋，其實，只要利用簡單微積分知識就可以得出這個結論。

例3：求正弦交流電 的有效值。

我們通過定義可知，關鍵在于求出該電流在一個周期之內產生的熱量。我們知道焦耳定律 是用來求電流產生熱量的。

在電流為變量時，我們考慮極短時間內的情況：

對該式進行積分：

即：

設一恒定電流 在交流電的一個周期時間內產生的熱量與上式的結果相同，那么，這個恒定電流的值即為該交流電的有效值。

即

解得這個恒定電流的值

這就得出了書上的結論了，而且這個方法相對來說十分容易理解，并且，我們可以推論其他交流電電流有效值的求法同樣是設好 在進行簡單的積分即可。

2.2利用微積分快速求解場強

求解場強的問題向來是競賽入門與自招的熱點，同時，也是對很多同學物理概念理解的考察。學會利用微積分來求解場強問題讓我們在學會一種快速解題方法的同時，也更能讓我們更好的理解場強的產生。

例4：一半徑為R、厚度不計且均勻帶電的圓環，環上線電荷密度為 ，求過環心垂直于環面的中軸線上的一點A（0，0，z）的電場強度。

如圖，在圓環上任取一線電荷元 ，它在A點產生的電場強度為 .

由對稱性可知，整個圓環在A點產生的電場強度只有沿z軸的分量.于是，只需要求的 的z軸分量即可.

易得：

對它積分即可求得圓環在A點產生的電場強度

由這里我們很容易看到微積分在求解這類電場強度問題時的優越性，原本很難理解的模型進行微分后便十分容易描述了，在進行積分即可求出我們想要的東西。其實對于類似的物理量如磁場都可以如此求解。

結語：從以上我們可以很明顯的認識到微積分在高中物理中的重要作用。然而筆者從日常學習中發現很多同學即使在數學中學習了一定的微積分知識后仍然不會在物理學科中去使用。而數學作為理科中作為基礎的學科，其知識在其他學科中的應用是非常重要的。希望本文能讓大家更樂于去在物理中使用微積分或其他的數學知識。

（作者單位：湖南師范大學附屬中學）