例談冪級數及其和函數的幾種應用

沈柳平 楊繼昌

摘要：冪級數展開式以及它的和函數是高等數學理論體系和實踐聯系非常緊密的內容之一。為了能更清晰地認識冪級數的形式及其和函數的一些用途，本文根據冪級數的特有形式及其和函數的性質，結合當前很多對冪級數理論的相關研究，用實例闡述和歸納了它們在表示函數、常數項級數求和、極限計算、解微分方程等方面的應用。

關鍵詞：冪級數；和函數；應用

無窮級數是高等數學中的一項重要內容，它在數學理論研究、工程實際應用和市場經濟分析等方面起著舉足輕重的作用。無窮級數的主要內容有常數項級數、冪級數和傅利葉級數等，其中冪級數以及冪級數求和是教學中的重點，也是學生學習的難點。因為冪級數的各項都是冪函數，它可以形象地被看作是按自變量升冪排列的“無窮次多項式”。另外，冪級數的和函數有很重要的連續、可微、可積等分析性質，并且它總可以用冪級數的部分和近似代替后仍可達到較高精度。對學生而言，在高等數學中接觸到的逐項求導法和逐項求積法求冪級數的和函數確實有些困難。目前，已有很多文獻研究冪級數的求和方法正好可以解學生的燃眉之急。本文著重列舉一些關于冪級數及其和函數的應用，讓學生進一步意識到冪級數可以學以致用以激發他們的學習興趣，同時也為讀者后續的討論和研究拋磚引玉。

5 結束語

關于冪級數及其和函數的應用絕對不止上述幾種，它們還可以用于近似計算、定積分的計算，等等，在此不作完備歸納。但是對于冪級數及其和函數的研究是永無止境的，如果高校師生能夠參與這些研究，對教師教學重點的把控和教學科研水平的提高、對學生數學素養的培養和學習興趣的提高等都大有裨益。

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第一作者簡介：

沈柳平（1968-），女，廣西融安人，副教授，研究方向：微分方程。