論麥克斯韋方程組的相對論不變性

諶望

摘要：根據狹義相對論的相對性原理，并利用四維時空的變換關系，把電磁學有關的各物理量表示成四維形式，最終推導得出麥克斯韋方程組的相對論不變性。

關鍵詞：麥克斯韋方程組;狹義相對論;四維時空;協變

一、四維時空的變換關系

在我們日常生活的三維空間中，假設有∑系，其坐標表示為（x1，x2，x3），另有∑′系，

其坐標表示為（x′1，x′2，x′3），若由∑系變換到∑'系滿足正交條件：

x′ix′i=xixi=不變量i=1，2，3

（其中運用了愛因斯坦求和約定，后面不在贅述）

則其坐標變換具有確定的形式：

x′i=aijxi，aij可寫作三階方陣的形式，

且任意矢量和坐標變換具有相同的形式，而標量保持不變，二階張量也有確定的變換形式：

T′ij=aikajlTkl

此即為三維空間的線性變換，即正交變換。

相對論指出，時間和空間彼此統一成四維時空，即閔可夫斯基空間。那四維時空的變換是否具有確定的變換形式呢？答案是肯定的！狹義相對論時空觀要求，兩事件的間隔不隨參考系的改變而改變，即

x′21+x′22+x′23-c2t′2=x21+x22+x23-c2t2

若令四維時空的第四維坐標為含時間的虛數坐標x=ict，用希臘字母代替下標14，則間隔不變式可寫作類似三維正交條件的形式：

x′μx′μ=xμxμ=不變量

且相對論的坐標變換為洛倫茲變換，具有確定的形式：

x′μ=aμνxμ

其中aμν由洛倫茲變換公式給出，為一個四階的函虛數的方陣。類比三維空間易得，洛倫茲變換形式上可看作四維時空的正交變換（即可看作四維空間的“轉動”），從而得到任意四維矢量都有與上述坐標變換相同的形式，而四維標量保持不變，四維張量具有下列確定的變換形式：

T′μν=aμλaντTλτ

此即為四維時空的變換關系！

二、電磁學有關物理量的四維形式的推導

根據上述四維時空變換關系的推導，我們引進了一個四維空間矢量xμ=（x→，ict），它在洛倫茲變換下具有確定的變換性質，我們將它稱作四維協變量或協變量，四維標量與各階四維張量都屬于協變量。在參考系變換下方程形式不變的性質稱為協變性，如果方程的每一項都屬于同一類協變量，則方程在洛倫茲變換下具有確定的變換，方程形式不變，那么它就滿足了相對性原理的要求，這就是我們推導麥克斯韋方程的協變性需要找出電磁學中物理量的四維形式的原因。

如上對于間隔不變性我們引入了四維空間矢量xμ=（x→，ict），同理在電磁學中我們知道電荷是守恒的，Q=∫ρdV=不變量，結合電荷密度與電流密度關系，易得四維電流密度矢量Jμ=（J→，icρ），則電流連續性方程（也稱微分形式的電荷守恒定律），

通分和指標收縮運算容易驗證，該方程也具有協變性。

綜上所述，我們將麥克斯韋方程組寫成了協變形式

Fμνxν=μ0Jμ，

Fμνxλ+Fνλxμ+Fλμxν=0

且兩個方程都具有明顯的協變性，由此我們便得出了麥克斯韋方程組具有協變性，即在參考系變換下，麥克斯韋方程組的形式保持不變，具有相對論不變性。

四、結語

相對性原理要求一切慣性參考系都是等價的，表征物理規律的方程其形式不會因慣性系而改變。我們通過四維形式，驗證了麥氏方程組具有協變性，也就滿足了相對性原理。所以由麥克斯韋方程組得出的一個重要結論，即電磁波在真空中沿各個方向的傳播速度為c，這個結論不隨慣性參考系的改變而改變，符合客觀規律，解決了經典時空觀的困難。但在其推導協變性上直接或間接地用了麥克斯韋方程的協變性來推導，如四維勢矢量的推導以及電磁張量的洛倫茲變換推導。這種推導方法存在一定的邏輯缺陷，但就其用來理解其方程組的協變性來說，還是可行的，讀者還可自行探究更為合理的推導方法。

參考文獻：

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[3]吳波，方陽德.麥克斯韋方程組洛倫茲協變討論[J].上饒：上饒師專學報，1998.