淺談空間向量與立體幾何

王龍

高考對立體幾何平行與垂直的考查是高考的熱點和重點，可以考查線面垂直的判定與性質、面面垂直的判定與性質，也可以考查線面平行的判定與性質、面面平行的判定與性質，解題思路有幾何法和向量法兩種.對空間角的考查重點考查異面直線所成角、線面角、二面角，思路也有兩種，幾何法與坐標法，幾何法運算量小，但輔助線不易做，坐標法思路明晰，但運算量大，容易出錯。利用空間向量解決立體幾何問題，考查空間向量能力和運算求解能力和轉化與化歸思想。

一、刻畫直線與平面方向的向量

1.直線

用直線的方向向量刻畫直線的方向問題，而方向向量可由直線上的兩個點來確定

2.平面

用平面的法向量來刻畫平面的傾斜程度，何為法向量？與平面垂直的直線稱為平面的法線，法線的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？

（1）所需條件：平面上的兩條相交的直線。

（2）求法：（先設再求）設平面的法向量為，若平面上所選兩條直線的方向向量分別為，則可列出方程組，利用數量積為零解出的比值即可。

二、空間向量可解決的立體幾何問題。

1.判定類

（1）線面平行：

（2）線面垂直：

（3）面面平行：

（4）面面垂直：

2.計算類：

（1）兩直線所成角：

（2）線面角：

（3）二面角：或（視平面角與法向量夾角關系而定）

（4）點到平面距離：設為平面外一點，為平面上任意一點，則到平面的距離為，即在法向量上投影的絕對值。

三、點的存在性問題

立體幾何在高考解答題中，最后一問往往涉及點的存在性問題，即是否在某條線上存在一點，使之滿足某個條件，主要介紹使用空間向量解決該問題時的方法與技巧。

解答此類題目，以2016全國卷Ⅲ，以第19題為例：

例1、如圖，四棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.（I）證明MN∥平面PAB；（II）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值。

試題分析：

試題解析：

（I）由已知得.取的中點，連接，由為中點知，. 又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.

（II）取的中點，連結.由得，從而，且。以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題意知，，，，，，，.

設為平面的一個法向量，則

即

可取.于是.

考點：空間線面間的平行關系，空間向量法求線面角.

技巧點撥：

（1）證明立體幾何中的平行關系，常常是通過線線平行來實現，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關系來推證。

（2）求解空間中的角和距離常常可通過建立空間直角坐標系，利用空間向量中的夾角與距離來處理。

三、向量法解決二面角問題

解答本此類題目，以2017全國卷Ⅲ，理19第二問為例：

例2、如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD.

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

試題解析：由題設及（1）知，兩兩垂直，以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.則.

由題設知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點，得.

故.

設是平面DAE的法向量，則即

可取.設是平面AEC的法向量，則同理可取.則.所以二面角D-AE-C的余弦值為.

考點：二面角的平面角；二面角的向量求法

技巧點拔：

（1）求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算時，要認真細心，準確計算。

（2）設m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補或相等，故有，求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。

四、量法解決立體幾何探索性問題

解答本類題目，以2016北京，理17 第三問為例：

例3、如圖，在四棱錐中，平面平面，

，，，，，.

（I）求證：平面；

（II）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

（III）在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

試題解析：

（I）、略

（II）如圖建立空間直角坐標系，由題意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）

設平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（III）設是棱上一點，則存在使得.

因此點.因為平面，所以平面當且僅當，即，解得.所以在棱上存在點使得平面，此時.

考點：空間線面垂直的判定定理與性質定理；線面角的計算；空間想象能力，推理論證能力。

技巧點拔：

平面與平面垂直的性質定理的應用：當兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個平面內作交線的垂線，把面面垂直轉化為線面垂直，進而可以證明線線垂直（必要時可以通過平面幾何的知識證明垂直關系），構造（尋找）二面角的平面角或得到點到面的距離等。

高考對本部分內容的考查以能力為主，重點考查空間想象能力，線面關系、面面關系、數形結合的思想等。

高考試題對該部分內容考查的主要角度有兩種：一種是利用立體幾何的知識證明線面關系、面面關系；一種是考查學生利用空間向量解決立體幾何的能力.重點對該部分內容的考查仍將以能力考查為主，要求學生有良好的空間想象能力和立體幾何素養。