2.3離散型隨機變量的均值與方差

高達溟

教學目標：

1.知識與技能

了解離散型隨機變量的均值或數學期望的意義，會根據離散型隨機變量的分布列求出均值。

2.過程與方法

理解數學期望的性質和常見分布的數學期望，能熟練運用它們求相應的離散型隨機變量的數學期望。

3.情感、態度與價值觀

培養學生的科學態度，勇于探索和敢于創新的精神。體現數學的文化功能與人文價值。

重點難點：

教學重點：離散型隨機變量的均值或數學期望的概念。

教學難點：根據離散型隨機變量的分布列求出均值或數學期望。

教學過程：

一、復習舊知

1.隨機變量

如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示

若是隨機變量，是常數，則也是隨機變量 并且不改變其屬性（離散型、連續型）

2.離散型隨機變量

對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量

3.分布列

設離散型隨機變量可能取得值為……。

取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列

4.分布列的兩個性質： ⑴Pi≥0，i=1，2，…； ⑵P1+P2+…=1.

二、引入新課

根據已知隨機變量的分布列，我們可以方便的得出隨機變量的某些特定的概率，也就掌握了隨機變量取值的統計規律。但分布列的用途遠不止于此，

問題1：已知某射手射擊所得環數的分布列如下在n次射擊之前，可以根據這個分布列估計n次射擊的平均環數.這就是我們今天要學習的離散型隨機變量的均值或期望

問題2：如何估計該射手n次射擊的平均環數？

根據射手射擊所得環數的分布列，

我們可以估計，在n次射擊中，預計大約有

次得4環；

次得5環；

…………

次得10環.

故在n次射擊的總環數大約為

，

從而，預計n次射擊的平均環數約為

.

這是一個由射手射擊所得環數的分布列得到的，只與射擊環數的可能取值及其相應的概率有關的常數，它反映了射手射擊的平均水平.

對于任一射手，若已知其射擊所得環數的分布列，即已知各個（i=0，1，2，…，10），我們可以同樣預計他任意n次射擊的平均環數：

….

三、推進新課

1.均值或數學期望：

一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為則稱 … 為的均值或數學期望，簡稱期望.

均值或數學期望是離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平

注意：

（1）區別與

隨機變量是可變的，可取不同的值；

均值是不變的，它是離散型隨機變量的一個特征數，由的分布列唯一確定，它反映了取值的平均水平。

（2）區別隨機變量的均值與相應數值的算術平均數。

均值表示隨機變量在隨機試驗中取值的平均值，它是概率意義上的平均值，不同于相應數值的算術平均數。

例1口袋中有5只球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3球，以表示取出球的最大號碼，求。

2.均值的性質

（1）若（a、b是常數），是隨機變量，則也是隨機變量，它們的分布列為

x1 x2 … xn …

Y … …

P p1 p2 … pn …

于是……

=……）……）

=，

由此，我們得到了期望的一個性質：

（2）若…為隨機變量，則……

例2.袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上號的有個。現從袋中任取一球。表示所取球的標號。

（1）求的分布列和均值。

（2）若求的值。

3.幾種分布的期望

例3 （2015天津）為推動乒乓球運動的發展，某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有來自甲協會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.

（I）設A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協會”求事件A發生的概率；

（II）設X為選出的4人中種子選手的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望.

四、小結

（1）離散型隨機變量均值的定義

（2）均值的性質；

（3）幾種分布的期望。

五、課后作業：P69 A組1，2，3