基于“相關變化率”的高等數學教學案例研究

摘 要：相關變化率問題是高等數學中導數部分的一個內容。它廣泛地存在于現實生活中。本文從現實生活中大家所熟知的“水位上漲”案例著手研究，通過案例的導入，將實際問題轉化為相關變化率的數學問題，從案例的分析、講解、到鞏固拓展等一系列的教學過程，讓學生學會用數學的思維方法分析、解決實際問題，明白數學既來源于生活、又服務于生活，培養了學生的學習興趣；同時，幫助學生更加深入地理解相關變化率的概念，熟練掌握相關變化率在實際問題中的應用。

關鍵詞：高等數學 相關變化率 案例研究

在現實的生活中，存在著很多相關變化率問題的案例，要正確地解決這些問題，必須深入地理解相關變化率的含義，掌握相關變化率的實質，從而掌握解題的方法，拓寬學生的知識面。[1]

一、相關變化率的定義

假設有兩個可導函數和，變量與之間存在某種關系，從而它們的變化率與之間也存在某種關系，這兩個相互依賴的變化率稱為相關變化率。如果已知其中一個變化率（或），要求出另一個變化率（或），這類問題就是相關變化率問題。相關變化率問題廣泛應用于我們的生活，下面我們來分析一個生活中的案例。

二、案例引入

在多雨季節，山洪爆發，河流、水庫水位上漲迅猛的時候，人民群眾的生命和財產安全將會受到極大的威脅，我們都希望在河流、水庫的水位到達警戒線之前能夠采取有效的措施去避免或減輕險情的發生，因此，水位上升的速度在抗洪預警中具有重大的意義。那么，現在的關鍵問題是如何計算水位上升的速度呢？[2]

大家都知道，我國小型水庫眾多，雨季極易發生險情，因此需要對水庫的水位情況進行實時監測。下面我們以一個長為、頂角為 的水槽形狀的水庫為例（如圖1），若測得水庫上游河水以的體流量流入該水庫，那么我們要求水深的時候，水位每小時上升幾米？[3]

三、案例分析

如果設水庫水流量為立方米，水深為米，顯然它們是隨著時間變化的，因而這兩個變量都是時間的函數。現在要求水位上升的速度，即，而題目又已知河水流入水庫的體流量的速度，即已知，也就是已知其中一個變化率，求另外一個變化率，顯然這就是一個相關變化率問題。

因此，找到變量和之間的關系式就是這個問題的關鍵，而這個關鍵問題的突破點則是水庫的形狀。

四、案例求解

設水庫水流量為立方米，水深為米，顯然它們都是時間的函數。現在我們的關鍵問題是要尋求和之間的關系，這個關系顯然隱藏在水庫的形狀中。

已知水庫是長、頂角的水槽狀，我們對水庫的形狀進行抽象化，就相當于一個平放的三棱柱（如圖2）。

水庫的水流量V即為三棱柱的體積，而三棱柱的體積等于底面積*高。三棱柱的高看作是水庫的長。三棱柱的底面是一個頂角為的等腰三角形（如圖3），這個三角形的高就是水庫的水深，這樣，很容易計算出三角形的面積。因此，三棱柱的體積，

將等式兩端同時對求導（注意運用復合函數鏈式求導法則），得到相關變化率和之間的關系，

將代入上式

計算得到，

即水深的時候，水位每小時大約上升米。

如果已知水庫的警戒線的位置，我們就可以計算出水位到達警戒線所需的時間。這樣，在抗洪搶險的時候，搶險人員就可以在有限的時間內采取有效的措施去避免或減輕險情的發生。

五、鞏固拓展

問題1：對一圓形的氣球充氣，氣球的體積和半徑都隨著時間增加，若測得氣球體積增加的速度為，求當氣球半徑為的時候，半徑增加的速度。

由于氣球的體積和半徑都是時間的函數，現在已知體積增加的速度，求半徑增加的速度，顯然這就是一個典型的相關變化率問題，重點就是找到體積和半徑的關系。

設氣球的體積為，半徑為，則和都是時間的函數。

因為氣球的形狀是圓形的，則體積 ，

等式兩端對求導，得

代入已知數據，，計算得到。

即求當氣球半徑為的時候，半徑每秒大約增加的1.6m。

問題2：

等邊三角形的高隨時間而變化， ，其變化率為， 求當高為8厘米時，其面積的改變率。

解： 問題中涉及兩個關于時間的函數，表示等邊三角形的面積， 表示等邊三角形的高。易知它們之間有關系式

等式兩邊對求導， 得

代入已知數據，，

計算可得面積的改變率

即求當高為 8厘米時，其面積的改變率為。

結語

這幾個案例都是我們生活中的相關變化率問題，求解問題的方法、過程都非常相似。通過這兩個案例，我們可以總結出求解實際問題的一般步驟：首先，要用數學的語言、數學表達式將實際問題轉化為數學問題，尋求數學方法；（2）研究變量之間的函數關系式，建立數學模型；（3）確定計算方法，求解模型；最后，成功解決問題。

求解相關變化率問題，主要是通過復合函數求導的鏈式法則，利用已知的某變量的變化率得出所要求解的某變量的變化率，其關鍵是要建立兩個變量之間的函數關系式。也可以說，相關變化率問題就是建立簡單的數學模型問題。

通過將實際問題轉化為用數學知識求解的數學問題，既可以培養學生的學習興趣，也讓學生學會用數學的思維方法分析、解決實際問題。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學：上冊[M.4版.北京：高等教育出版社，

2007：110.

[2]龐栓琴.求解相關變化率的問題[J].高等數學研究，1999（3）：22-23.

[3]尹海東.高等數學：上冊[M].2版.北京：中國農業出版社，2012：82.

作者簡介

馬祥玉（1981.03—）漢族，女，四川宜賓，碩士研究生，講師，主要從事數學教學工作，研究方向為應用數學。