立足模擬題本質 探尋多角度解法

☉江蘇省揚中市第二高級中學 朱衛紅

美國著名數學家哈爾莫斯曾說過：問題是數學的心臟.對學生來說，各類考試題無疑是最熟悉的一個“問題”.解三角形主要通過對任意三角形邊角關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能利用它們解決一些簡單三角形度量問題及一些與測量和計算有關的實際問題.該部分是每年高考中的基本考點之一，大都運算量大、公式應用多，這就要求我們不僅具有較高的運算水平、較強的運算能力和較大的記憶能力，還應善于審題，采用相應的策略，優化過程.特別對于解三角形中的最值以及與之對應的相關問題，備受命題者青睞，更是各類考試中的熱點題型.下面結合一道三角形面積的最值問題加以多解剖析.

例題（2018年江蘇省某市高考二模·16）等腰△ABC中，AB=AC，D為AC的中點，BD=1，則△ABC的面積的最大值是____.

分析：解三角形問題往往要以通過解三角形思維（包括正弦定理、余弦定理等）、向量法思維、幾何法思維、坐標法思維等不同的角度切入，抓住解三角形法、向量法、幾何法、坐標法，這是解決此類問題的常見“四招”.從哪些角度切入，如何正確破解此類問題，是處理此類問題的重點所在.

解法1：在△ABD中，由余弦定理可得：

解法2：設AB=AC=2x，則AD=DC=x.

在△ADB中，由余弦定理可得4x2=1+x2-2×1×x×cos∠ADB；

在△BDC中，由余弦定理可得a2=1+x2-2×1×x×cos∠BDC.

兩式相加可得4x2+a2=2+2x2，即2x2+a2=2.

解法3：在△ABD中，由余弦定理可得：

解法4：設BC邊的中點為E，AE與BD交于點G，則G為△ABC的重心.

解法5：設AB=AC=2x，則AD=DC=x，那么△ABC的半周長

由三角形的中線長公式可得4BD2=2AB2+2BC2-AC2=8x2+2a2-4x2=4，即2x2+a2=2.

由海倫公式可得△ABC的面積：

解法6：設BC邊的中點為E，AE與BD交于點G，則G為△ABC的重心，則有

解法7：設BC邊的中點為O，AE與BD交于點G，則G為△ABC的重心，過D作DE⊥BC交于點E，設∠DBC=α，

解法8：設BC邊的中點為O，以O為坐標原點，BC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸建立平面直角坐標系，設B（-m，0），C（m，0），A（0，n），m>0，n>0.

解法9：以BD的中點O為坐標原點，BD所在直線為x軸，BD的垂直平分線所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則

解法10：以D為坐標原點，DB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則B（0，1），設A（-m，-n），C（m，n），m>0，n>0.

由于AB=AC，可得m2+（n+1）2=4m2+4n2.

通過從多個不同角度來處理，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發，多方面求解，真正體現對數學知識的融會貫通，充分展現知識的交匯與綜合，達到提升能力，拓展應用的目的.如何提升學生的解題能力，是每位老師思考的重要課題.經過理論和教學實踐證明，一題多解是提高解題能力的有效途徑.在呈現不同解法的同時，暴露思維過程，得以拓展與提升.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數學家蘇步青先生說過：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”