與圓錐曲線準點有關的角平分線性質*

☉湖北師范大學數學與統計學院 孫婉芬 姜 國

圓錐曲線是高中解析幾何的重點內容，也是高中數學的難點，為了幫助學生克服這一重難點內容，關于圓錐曲線的研究是很有必要的.許多學者對圓錐曲線的定義、性質展開了廣泛的討論，得出一些有趣結論.如：文2給出了圓錐曲線與準線頂點有關的統一性質.文3證明了過圓錐曲線準線上任意一點的直線平分相關角的性質.文4得到了圓錐曲線焦點與準點的幾個有趣性質.文6和文7分別利用代數方程與線性變換的方法證明了雙曲線漸近線相關的一個性質.文8利用從特殊到一般的思想，證明了有心圓錐曲線的一個性質.另有部分學者對圓錐曲線相關性質進行了總結歸納，如文1和文5.基于以上研究，本文利用數形結合思想，從代數方程入手，討論了過焦點直線與圓錐曲線相交的問題，得到幾個有關角平分線的重要結論及定理.

結論1：過焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，Q是焦點F對應的準點，則∠AQB被x軸（或y軸）平分.

特別地，直線垂直于x軸（或y軸）時，由橢圓的對稱性，結論顯然成立.下面給出直線與x（y）軸不垂直的情形證明：

情形1（焦點在x軸上）：設橢圓的方程為（a>b>0），過焦點F（c，0）（或F（-c，0））的直線y=k（x-c）（或y=k（x+c））交橢圓于A，B兩點，點Q（x0，0）是焦點F對應的準點，其中如圖1，則∠AQB被x軸平分.

圖1

證明：先證過右焦點的直線.

記交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.

消去y得（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+（a2c2k2-a2b2）=0.

又∠AQF，∠BQF均為銳角，所以∠AQF=∠BQF，得證.

類似可證過左焦點的直線.

情形2（焦點在y軸上）：設橢圓的方程為（a>b>0），過焦點F（0，c）（或F（0，-c））的直線y=kx+c（或y=kx-c）交橢圓于A，B，點Q（0，y0）是焦點F對應的準點，其中則∠AQB被y軸平分.

證明：證明類似情形1，在此從略.

結論2：過焦點F的直線交雙曲線同側一支于A，B兩點，Q是焦點F對應的準點，則∠AQB被x軸（或y軸）平分.

特別地，直線垂直于x軸（或y軸）時，由雙曲線的對稱性，結論顯然成立.下面給出直線與x軸（或y軸）不垂直的情形證明：

情形3（焦點在x軸上）：設雙曲線的方程為過焦點F（c，0）（或F（-c，0））的直線y=k（x-c）（或y=k（x+c））交雙曲線同側一支于A，B兩點，Q（x0，0）是焦點F對應的準點，其中，如圖2，則∠AQB被x軸平分.

圖2

證明：先證過右焦點的直線.

設交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.

又∠AQF，∠BQF均為銳角，所以∠AQF=∠BQF，得證.

類似可證過左焦點的直線.

情形4（焦點在y軸上）：設雙曲線的方程為1，過焦點F（0，c）（或F（0，-c））的直線y=kx+c（或y=kx-c）交雙曲線同側一支于A，B，點Q（0，y0）是焦點F對應的準點，其中，則∠AQB被y軸平分.

證明：證明類似情形3，在此從略.

注：交點A，B不在同一支時，∠AQB被焦點F對應的準線平分，如圖3.

結論3：過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，Q是焦點F對應的準點，則∠AQB被x軸（或y軸）平分.

特別地，直線垂直于x軸（或y軸）時，由拋物線的對稱性結論顯然成立.下面給出直線與x軸（或y軸）不垂直的情形證明：

圖3

情形5（焦點在x軸上）：設拋物線的方程為y2=2px（或y2=-2px）（p>0），過焦點的直線交拋物線于A，B，點Q（x，0）0是焦點F對應的準點，其中，如圖4，則∠AQB被x軸平分.

圖4

證明：先證過橫坐標為正的焦點的直線.

設A（x1，y1），B（x2，y2）.

又∠AQF，∠BQF均為銳角，

所以∠AQF=∠BQF，得證.

類似可證橫坐標為負的焦點的直線.

情形6（焦點在y軸上）：設拋物線的方程為x2=2py（或x2=-2py）（p>0），過焦點的直線交拋物線于A，B，點Q（0，y）0是焦點F對應的準點，其中則∠AQB被y軸平分.

證明：證明類似情形5，在此從略.

由上討論可得如下定理：

定理：過焦點F的直線交圓錐曲線于A，B兩點，Q是焦點F對應的準點，則∠AQB被x軸（或y軸）平分.（特別地，對于雙曲線，交點A，B位于同一支曲線上）

例1（2018年湖北理科卷）設橢圓的右焦點為F，如圖5，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）.

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

由結論1知，∠AMB被x軸平分，即∠OMA=∠OMB.