數學運算核心素養在解題體驗中“落地”
——以2018年江蘇卷第13題為例

☉江蘇省如東高級中學 郭 偉

數學運算核心素養是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養，它包含了：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等數學能力.眾所周知，數學解題活動需要通過計算、推理來實現，因此，解題教學是發展學生數學運算核心素養的有效手段.顯然，那種“就題論題”、“題海戰術”式的解題教學是無法承載發展核心素養的重任，那么，數學運算如何在解題教學中“落地”呢？

一、問題剖析：體驗運算之勢

題目（2018年江蘇卷第13題）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

剖析：如圖1，此題以三角形邊角之間的關系為問題背景，考查學生綜合運用各種知識解三角形的能力.由于本題要求的結果是4a+c的最小值，而最值的一般套路往往是轉化為函數或基本不等式來求解，因此，本題的解題方向是明確的，解題的難點在于找到一組關于a、c的等量關系式，這其實就是在考查學生的運算能力，即把題目條件中的幾何關系式轉化為代數式，然后通過運算來獲得關于a、c的等式.我們把題目中的幾何條件與可能對應的代數表示用一張表格列出來，這樣容易找到解題的突破口.

圖1

幾何條件 可能的代數表示∠ABC=120° 用向量的夾角表示、用余弦定理或正弦定理表示∠ABC的平分線交AC于D用內角平分線定理表示、用向量共線定理表示、利用面積關系進行表示BD=1 作為三角形的一條邊，利用余弦定理、正弦定理的表示

通過上述表格分析，本題有兩種解答視角：幾何與向量.每種視角又可以細分為若干種方法.通過對問題進行多重視角的分析與解答，學生經歷不同的運算表示，從而使學生的數學運算核心素養得到充分的發展.

二、幾何視角：體驗運算之巧

在數學知識中，幾何關系雖然直觀，但其內部蘊含的邏輯關系卻比較復雜，往往相互依賴，共生共存，這就給問題的解決提供了多重思維視角.立足不同幾何關系獲得的解題思路，在運算上看似大相徑庭，但到最后都會殊途同歸，讓人感到異曲同工之妙.

1.根據面積表示等量關系

角平分線BD把△ABC分成兩部分，因此整個三角形的面積就是兩個小三角形面積之和.如果能夠把這個兩個小三角形面積表示出來，就能得到一個等量關系.

解法一：因為S△ABC=S△ABD+S△BCD，所以acsin120°=化簡得，ac=c+a?所以4a+c=（4a+c）當且僅當c=2a，即a=，c=3時等號成立，所以4a+c的最小值為9.

2.結合內角平分線性質利用正弦定理表示等量關系

解法二：因為BD是角平分線，因此三角形滿足內角平分線的性質，即于是AD與DC就可以用三角形的邊a，b，c表示出來，接下去就可以利用正弦定理列出邊角之間的等量關系.

3.結合內角平分線性質利用余弦定理表示等量關系

解法三：其實，還可以用余弦定理表示邊角之間的等量關系.在△ABD與△CBD中，利用余弦定理得到因為所以把兩式相除得化簡得（a+c）（a-c）=（a-c）ac，即a=c或ac=c+a.

若a=c，因為BD=1，所以a=c=2，則4a+c=10；若ac=c+a，后續的做法和前面一致.最后得到4a+c的最小值為9.

4.利用圖形隱藏的幾何性質表示等量關系

解法四：如圖2，過D點作DE∥AB交BC于E.這樣作輔助線的好處有兩點，一是可以利用平行相似比列等式，二是把分散在不同位置的幾何性關系集中到一處，解法更加簡潔.

圖2

顯然，有∠DBE=∠BDE=60°，所以△BDE是正三角形，則BD=DE=EB=1，EC=a-1.由化簡得ac=c+a.

除了上述輔助線的畫法，我們還有其他的畫法，如圖3所示，過A作AE∥BC交BD延長線于點E.所以∠E=∠CBD=∠ABD=60°，所以∠BAC=60°，故△ABE為等邊三角形，所以AE=BE=AB=c.因為BD=1，則DE=c-1.由AE∥BC得

圖3

綜上，盡管考慮問題是視角不同，運算的式子不同，最后都能得到ac=c+a這一關鍵等式，“條條大路通羅馬”，這就是運算的奧妙所在.

三、向量視角：體驗運算之法

向量是溝通代數、幾何、三角的橋梁，是重要的解題工具.相比于一般的幾何法，向量法的優點在于運算套路基本固定.它一般遵循兩大運算法則：一是基向量法則，二是坐標運算法則.

1.運用基向量運算借助共線定理表示等量關系

2.運用坐標運算借助共線定理表示等量關系如圖4，以B為原點，BC為x軸建立直角坐標系，

圖4

四、拓展變式：體驗運算之本

題目的拓展與變式對于發展學生的運算核心素養具有重要的作用，在類比中提煉出某類問題的通解通法，形成程序化的解題策略；在對比中完善和發展數學運算能力，培養科學嚴謹的理性精神，這才是運算的根本價值之所在.本題的運算主要涉及到“角平分線性質”與“基本不等式求最值”兩個知識點，因此，可以圍繞著這兩個方面進行拓展與變式.

【題組一】角平分線性質的應用

變式1：如圖5，在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a2+c2=b2-ac，∠BAC的平分線AD交BC于點D，1，則cosC=______.

圖5

變式2：在△ABC中，AD是∠A的平分線，若則AD的取值范圍是______.

變式3：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，∠A的平分線交BC于D，且則S△ABC=______.

意圖：通過多重視角挖掘角平分線的幾何性質，把幾何性質代數化，列出等量關系，通過運算獲得相關的結論，從而掌握這一類問題的解題套路，提升學生的運算轉化能力.

【題組二】基本不等式的應用

拓展1：已知A，B，C是平面上任意三點，BC=a，CA=b，AB=c，則的最小值是______.

解析：由b+c≥a，得

拓展2：已知正數x，y滿足的最小值為______.

解析：由得到x+y=xy，則所以9x+4y=（9x+

意圖：上述兩道求最值的拓展性問題用到了相對比較復雜的運算技巧，這也是學生在運用基本不等式求最值時需要掌握的.通過問題的解答，進一步提升學生數學運算的核心素養.

學生通過不斷的解題體驗，獲得情感體驗，激活其數學思維，數學運算的技巧在情感交融狀態中達到一種理解和心領神會，從而使數學運算核心素養的構建由膚淺逐步走向深入.