數學結構思想在解題教學中的應用

☉安徽省無為中學 丁福全

一、問題的提出

例1函數y=（fx）的圖像上有一點P，y=g（x）的圖像上有一點Q，點P，Q之間的距離記作|PQ|，且能取到最小值d，那么將d稱為函數y=（fx）與y=g（x）之間的距離.按此定義，求函數之間的距離.

此題求解有兩個突破點：

（1）y=（fx）是一個冪函數，圖像即為拋物線y2=x在第一象限的曲線；y=g（x）是圓（x-2）2+y2=1在第一象限的半圓曲線.

（2）點P到定圓上點Q的距離應轉化為點P到圓心的距離.

事實上，解決例1時如果能夠聯想一類題目就會有一定的突破，如引例：求圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點到直線x+y-14=0的最小距離.

圓上的動點到某直線的距離可以借助圓心到該直線的距離的探究來實現.利用圓的特征并因此實施“動”到“定”的轉化，結合引例對例1展開分析，區別在于y=（fx）的圖像不是直線，又因為P是動點，因此應設點P的坐標并表示出點P到圓心的距離，最終借助函數使問題得到解決.

由此我們可以觀察到數學結構思想在解題中所起的作用，因此，教師在平時的教學中應積極引導學生對題中的數學結構與知識特征進行理解與分析并使其積累、掌握一定的數學知識結構與模型，最終運用動態思維使問題得以轉化，知識得以創新.

1.開展管理創新，提高管理效率。要積極穩妥實施企業“壓減”工作，調整組織結構，整合資源，做強、做專分公司。要制定分公司由生產經營型轉變為生產型的改革方案，調整公司與分公司兩級機構設置和定編定員，對關鍵崗位上的業務人員要優先培養和配置；要通過不斷推進標準化設計、工序化生產和單工號管理，以提高創新思維、能力素養為重點，以強化管理人員業務素質為根本，開展業務骨干大培訓工程，逐步培養一批在產品設計、生產管理、成本管控等方面的急需人才，為企業管理上臺階提供人力資源支撐。

二、數學結構思想

法國布爾巴基學派結合皮亞杰等發展起來的結構思想這一現代教育理論建立了數學結構思想學說，將數學的發展認定為是各種結構的建立與發展這一理論具體探討了諸多數學結構間的統一性.

一般來說，數學結構通常分為純數學結構與一般數學結構兩大類，從宏觀角度來看的純數學結構主要包含代數結構、拓撲結構、順序結構等諸多內容.在強調數學知識間聯系的這一條件下所提出的一些數學結構是這里所指的一般數學結構，這是為實現數學的教育功能而強調的.方程或方程組的同解變換結構、與數的知識有關的復數的分類結構、解題或證明的程序結構、各種數學模型結構等都是一般數學結構所包含的內容.側重“結構”這一核心的數學結構思想倡導在數學表面差異的研究上對數學知識間的聯系與一致性、數學的本質進行認識、探索與處理.

由此可見，學生在數學學習時建構完整的結構體系離不開數學結構思想的有力支撐，因此，教師在解題教學時應積極滲透數學思想方法并因此促進學生分析、解決問題能力的大幅提升.

三、數學結構思想在解題教學中的應用

1.運用結構進行聯想并因此實現轉化

數學結構思想的運用對于學生整體性數學思維水平的提升來說具有極大的意義.根據探索知識能力間的結構聯系這一思想內涵開展解題教學能夠使學生更好地抓住問題的本質.比如，教師在例1的解題教學中運用引例并借助變式訓練使學生能夠很快對已有數學結構進行提取，并因此使學生對知識間的區別與聯系更加明確，學生在此基礎上很快對已有知識結構進行了提升與轉化并因此實現了創造性思維的生成繼而獲得解題的方法.

2.引導學生在結構的感知中識別特征并因此建構體系

學生良好數學認知結構的建立必須建立在對數學結構思想的理解與掌握這一基礎之上，不同角度的考慮往往會令一道題目甚至一個已知條件產生新的理解與認識，因此，教師在解題教學中應引導學生對題中的數學結構進行體會與感悟，使得各種結構所具備的知識特征得到更好的識別并產生最為合理的解題辦法.

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求∠C的取值范圍.

方法1：由“兩邊一對角”這一結構特征進行體會與感悟并聯想“正弦定理判斷三角形解的數量”這一知識進行解題，借助圖形有1≥2sinC，得到再結合C∈（0，π），得

方法2：由“兩邊一對角”這一結構特征進行體會與感悟并聯想“余弦定理表示角”這一知識進行解題，設AC=x，借助余弦定理得結合x的范圍并利用基本不等式可得再結合C∈（0，π），得

方法3：感知三角形中已知的邊AB∩BC=B這一結構特征，聯想作三角形圖并觀察C的變化等知識先確定邊BC，然后再以B為圓心、1為半徑作圓并找出頂點A的軌跡，最終再確定∠C的變化并結合C∈（0，π），得

我們從此題的不同解法中不難窺見學生解題過程中的思維閃爍，因此，結構思想指引下的數學解題教學對學生的思想與見解不能隨意否定，學生在多種數學知識結構的積累與深化中也能夠更加完善地構建起系統的知識體系.

3.幫助學生學會分析結構并因此順利歸納和推理

有些學生在解題時并不能較快地抓住題中的突破點，數學結構思想觀下的數學教學應引導學生合情推理，幫助學生領會并掌握特殊到一般的方法，使學生在掌握類比歸納等方法的前提下能夠分析題中的知識結構并順利建立恰當的數學模型，簡化目標，更快解題.

例3如圖1，青蛙第一步從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A起跳，它的每一次跳躍都跳向了相鄰的那個頂點.

（1）跳三步跳到C1的概率P為多少？

圖1

（2）如果跳五步并將跳到過C1的次數用X來表示，那么隨機變量X的概率分布及數學期望E（X）應該是怎樣的呢？

分析：解決此題的關鍵在于從點A跳到其他各頂點至少需要的步數.將A標為0，A1，B，D標為1，B1，C，D1標為2，C1標為3.

解：（1）三步共3×3×3種選擇，

四、結論

基于數學結構思想的解題教學能夠借助變式、一題多解等多種教學方式幫助學生對各種數學結構進行領悟與掌握，使學生在各種變式中更好地體會其中所蘊含的數學思想.因此，教師在解題教學中應培養學生利用已有的數學知識結構與模型并因此加深自己對所學公式、概念與定理的掌握，使學生能夠學會尋找知識間的聯系并進行知識特征的識別與合情歸納推理，最終實現解題能力的突飛猛進.