分析題目特征，尋找填空題求解的切入點

☉江蘇省海門市第一中學(xué) 戴繼龍

填空題屬于客觀性試題，它的特點是短小精悍，考查的知識點集中，答案簡短、明確、具體，需要獨立思考解答.同時，填空題又不同于解答題，不需要寫出解答過程，小題不用大做，其要求答案簡單明了，準確無誤，否則不得分.由于填空題處于這一特殊位置，這也從基礎(chǔ)上把考生的成績拉開了檔次.下面探討填空題的幾個常見解法.

一、直接法

當(dāng)題目的背景比較熟悉或題目難度較小時，可以直接利用相關(guān)的定理、定義或推論直接運算求得答案.

解題的關(guān)鍵是運算的準確性，以及公式的正用、逆用、變用、活用等.

例1已知變量），則函數(shù)的最小值為______.

解析：根據(jù)題給函數(shù)表達式，分母含有二倍角公式，分子含有常數(shù)1，可以考慮進行變換“1=sin2x+cos2x”，然后利用三角函數(shù)的同角關(guān)系式分子分母同時除以cos2x化簡即可因為所以tanx＞0，根據(jù)基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以

評注：利用直接法解填空題，關(guān)鍵是根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的轉(zhuǎn)化方向，盡量減少變量的個數(shù)，降低次數(shù)，注意數(shù)學(xué)運算的準確性.

二、數(shù)形結(jié)合法

利用數(shù)形結(jié)合法探究問題的關(guān)鍵是分析題目特征，借助相應(yīng)圖形的直觀性輔助解題.常見的數(shù)形結(jié)合解題的思路有三角函數(shù)的圖像、函數(shù)的圖像、直線與圓的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、韋恩圖等.

例2設(shè)定義域為R的函數(shù)（fx）=則關(guān)于x的方程（fx）-2x=0有______個解.

分析：畫出圖像，通過圖像分析、觀察結(jié)果.

由圖1知，（fx）的圖像關(guān)于直線x=1對稱.

圖1

圖2

求方程f（x）-2x=0的解的個數(shù)即為求函數(shù)f（x）與y=2x圖像交點的個數(shù).在圖中作出y=2x的圖像，如圖2所示.故f（x）與y=2x圖像有1個交點，方程f（x）-2x=0有1個解.

評注：本題關(guān)鍵是作出函數(shù)f（x）的圖像，而f（x）是分段函數(shù)，所以要根據(jù)不同解析式畫出各段函數(shù)的圖像.然后將所求方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)，再利用圖像分析可得所求結(jié)果.

三、構(gòu)造法

有些題目條件特征比較明顯，因此可以利用轉(zhuǎn)化思想，合理構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、圖形等輔助解題，可以便捷得到解題思路和題目答案.

例3已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為______.

解析：由題設(shè)知，x∈［-3，1］，設(shè)則u≥0，v≥0，且u2+v2=4，其圖像是圓u2+v2=4在第一象限的部分及（2，0）和（0，2）兩點，y為直線y=u+v在v軸上的縱截距，顯然當(dāng)直線與圓弧相切是有最大值，如圖3所示

圖3

評注：注意到的和為定值4，應(yīng)想到構(gòu)造圓，再利用直線與圓的位置關(guān)系解決.

四、規(guī)律發(fā)現(xiàn)法

有些問題初始看計算比較簡單，但是過程比較煩瑣，或者計算的量比較大，需要我們從盡量少的運算過程中去發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，簡化計算步驟，例如，函數(shù)中的周期性應(yīng)用就能極大地簡化問題的計算量.同時對于那些新定義型題，也可以通過觀察題干，分析題目數(shù)據(jù)特征，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，簡化運算過程.

例4設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）·f（x+2）=12，若f（2）=2，則f（2018）=______.

分析：根據(jù)所給的關(guān)系式f（x）·f（x+2）=12和f（2）=2，歸納出正偶數(shù)的函數(shù)值的變化規(guī)律，據(jù)此規(guī)律求f（2018）的值.

所以f（2018）=f（2×1009）=2.

評注：推理是數(shù)學(xué)的基本思維過程，此類題目常涉及函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，要充分理解題中所給的信息，就能發(fā)現(xiàn)或歸納概括出解題的一般規(guī)律.

五、等價轉(zhuǎn)化法

有些問題的背景比較陌生，理解比較抽象，可以通過某個角度轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的背景、容易理解、方便求解的問題來解決，轉(zhuǎn)化的過程中要注意等價性.

例5已知函數(shù)（fx）=x2-cosx，對于上的任意x1，x2，有如下條件：①x1>x2；②x12>x22；③x1>|x2|.其中是（fx1）>（fx2）的充分條件的是______（將充分條件的序號都填上）.

分析：易知函數(shù)（fx）為偶函數(shù)，根據(jù)給出的條件應(yīng)從函數(shù)單調(diào)性入手，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進行求解.

解：因為函數(shù)（fx）=x2-cosx為偶函數(shù)，（f0）=-1且在區(qū)間］為增函數(shù)，所以，直線x=0為函數(shù)（fx）的對稱軸，離對稱軸越遠函數(shù)值越大，即“若且|x1|>|x2|，則f（x1）>f（x2）”.

所以②③是f（x1）>f（x2）的充分條件.

評注：已知命題的結(jié)論求解它的充分必要條件時，若命題的結(jié)論形式比較復(fù)雜，則可把命題的結(jié)論等價轉(zhuǎn)化為比較簡單的結(jié)論，這樣就比較容易求解它的充分必要條件.

六、開放題的解法

填空題中的開放題有條件開放型、結(jié)論開放型、綜合開放型，這幾類問題的答案往往不唯一，解題時注意答案的正確選擇.對于此類問題的求解，也要注意特殊解題方法的應(yīng)用.

例6若四面體各棱長是1或2，且該四面體不是正四面體（四個面都全等的四面體稱為正四面體），則下面______（填序號）哪些是四面體體積的值.

分析：可以考慮所有符合題意的圖形.由于三角形的兩邊之和大于第三邊，因此組成四面體各面的三角形中，或者只有一邊長為1，或者三邊長為1.

解：分兩種情況進行討論：（1）如果這些三角形中，有一個邊長為1的正三角形，則將其作為底面，考慮其側(cè)棱長，共3種情況：兩邊為1，一邊為2；一邊為1，兩邊為2；三邊全為2.因此，只有三邊全為2一種情況是可能的.

（2）如果這些三角形中，不存在邊長為1的正方形，則只有兩種情況：四面體的6條棱中，只有一組對棱的長度為1，其余棱長全為2；只有一條棱的長度為1，其余棱長全為2.

評注：對于具有多種結(jié)果的結(jié)論開放性試題，應(yīng)抓住條件中影響結(jié)果的動態(tài)因素，通過討論，全面考查問題的各個方面，也體現(xiàn)了發(fā)散思維的考查和基本知識的應(yīng)用能力.

填空題是高考的必考題型，因其題干的特殊性，解題方法與選擇題相比解題難度加大.填空題求解的一般思路是“直接求解法”，但是根據(jù)題型特點，也可以采用特殊的方法直接求出答案，例如，代入特殊點、特殊角等，還可以利用轉(zhuǎn)化思想，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問題解決.值得注意的是，在解答填空題時，最后的答案一定要書寫要規(guī)范.