一個函數問題的對稱性的發現與推廣*

☉四川省內江師范學院數學與信息科學學院 胡生兵 趙思林

發現教學法是指在教師的啟發下，使學生主動地探索數學知識和解決數學問題的一種教學方法.發現教學法應用到數學解題教學中，教師不是將問題的結論直接告訴給學生，而是向學生提供一系列問題，讓學生積極思考，獨立探索，自行發現這些問題的結論.解題思路的探索與發現是數學問題解決的關鍵，數學解題思路的發現常常需要敏銳的觀察，廣泛的聯想，大膽的猜想，也需要嘗試與預估、經驗與頓悟、機遇與靈感［1］.發現教學法是培養創新型人才的重要方式，發現教學法的關鍵在于引導學生思考與發現.2016年高考數學全國卷Ⅱ理科第12題是一個適合發現教學的好問題，也是數學探究的好問題.下面對該題從對稱性的發現、結論的證明、問題的推廣等角度作了探究.

題目 （2016年全國卷Ⅱ理科第12題）已知函數（fx）（x∈R）滿足（f-x）=2-（fx），若函數圖像的交點為（x1，y）1，（x2，y）2，…，（xm，ym），則

A.0 B.m C.2m D.3m

解析：根據題意可知，（f-x）+（fx）=2，所以函數（fx）的圖像關于點（0，1）成中心對稱.

此題情境新穎、內涵深刻、富含思考價值和數學探究價值.解答本題的關鍵是發現函數方程f（-x）=2-f（x）的對稱性.據統計，本題的得分率為0.44，大部分同學無法解決此題的原因在于不能發現原函數的對稱性.本文擬從探索和發現函數方程f（-x）=2-f（x）的對稱性出發，對這個函數方程的對稱性的思路探索、結論發現、證明、推廣等角度作一些探究.

一、對稱性的發現

思路1.退中求進

在解決問題過程中，有時退一步，將原問題轉化為我們熟悉的問題，再通過類比就很容易發現解題思路，找到問題的解決策略.而聯想與猜想是引導我們如何轉化的關鍵.無論是在教學中，還是在解決問題過程中，最近發展區都可以幫助我們學習知識和解決問題.

首先對原方程進行移項，得到f（x）+f（-x）=2，通過聯想把“2”變為“0”從而得到f（x）+f（-x）=0，通過回顧發現這個方程是奇函數的表達式，奇函數的定義域關于原點對稱，函數圖像也關于原點對稱.此時通過猜想，原來函數f（x）的圖像可能也關于某個點對稱.

評注：在此探究思路過程中，通過退一步將“2”變為“0”，從而得到學生熟悉的表達式，學生運用已有知識很容易想到奇函數的表達式，通過大膽的猜想與類比很快就可以想到原函數f（x）可能也關于點對稱.

思路2.構造函數

根據原方程f（-x）=2-f（x），原方程兩邊同時減去1可以得到f（-x）-1=1-f（x）.

觀察此方程發現，將-x代入等式的右邊得1-f（-x），剛好與左邊相差一個負號，所以令g（x）=1-f（x），則有g（x）=1-f（x）=f（-x）-1.

因為g（-x）=1-f（-x），所以g（-x）=-g（x），從而g（x）是奇函數，所以g（x）關于原點對稱.

通過解題回顧知，函數g（x）是由函數f（x）作x軸的對稱曲線再向上平移1個單位得到的，而函數g（x）的圖像關于原點對稱，平移不改變函數的對稱性，所以可以得到函數f（x）的圖像也關于某個點對稱.

評注：此思路的發現關鍵在于觀察，通過觀察很容易發現等式兩邊的關系，從而快捷地想到構造函數.此思路發現過程中充分展示了觀察聯想的重要性，充分體現了數學結構美、對稱美.

二、對稱中心的發現

1.由思路1發現對稱中心

因為函數f（x）是一個抽象函數，為了簡化解題思路，所以將f（x）令成熟悉的具體函數.令f（x）=kx+b，因為f（x）+f（-x）=2，所以kx+b+（-kx）+b=2，即2b=2，故b=1.所以f（x）=kx+1（k∈R），該函數圖像是一條經過定點（0，1）的直線.再作具體化處理，取k=1，得f1（x）=x+1，而直線是關于在直線上的任意一點對稱，所以一個函數無法確定對稱點.再取k=-1，得f2（x）=-x+1.f1（x），f2（x）都滿足抽象函數f（x）的對稱性，而f1（x）與f2（x）有且只有一個公共點（0，1），所以函數f（x）的圖像關于點（0，1）對稱.

評注：在此探索過程中運用了解決函數問題的一種常用方法——“特殊化”.在特殊化的過程中體現了化抽象為具體的思想.此過程中是將原函數特殊化為一次函數，其實也可以將原函數特殊化為三次函數、正弦函數等.具體能化為哪種特殊函數可以根據學生對知識點的熟悉程度來確定.

2.由思路2發現對稱中心

根據函數g（x）=1-f（x），可以得到f（x）=1-g（x）.由f（x）=1-g（x）可知，g（x）先作關于x軸的對稱曲線，再向上平移一個單位長度可以得到f（x）.因為函數g（x）的圖像關于點（0，0）對稱，所以函數f（x）的圖像關于（0，1）對稱.因為平移和對稱變換不改變函數圖像的對稱性的，所以此過程也即是證明過程.

評注：此過程充分運用了函數的表達式和函數圖像變換的性質.運用直觀想象讓解題思路變得簡捷，計算過程簡單，同時培養了學生的直觀想象能力.

三、結論的證明

結論：函數f（x）（x∈R）滿足f（-x）=2-f（x），則函數f（x）的圖像關于點（0，1）對稱.

證明：設點（m，n）在函數y=f（x）的圖像上，則f（m）=n.

因為f（-x）=2-f（x），所以f（-m）=2-f（m），即2-m=f（-m），故點（-m，2-n）也在函數f（x）的圖像上.

而點（m，n）與點（-m，2-n）恒關于點（0，1）對稱，所以f（x）的圖像關于點（0，1）對稱.

四、問題的推廣

推廣是指對結論進行拓展、加強與深化.對結論的推廣，有利于學生知識的拓展，開拓學生的思維視野，并能培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，還能培養學生自主探究學習的能力.

下面我們對對稱點進行推廣.

推廣1：設函數（fx）的定義域為R，函數（fx）滿足（fx）+（fb-x）=2，則函數（fx）的圖像關于點， 1）對稱.

推廣2：設函數（fx）的定義域為R，函數（fx）滿足（fx）+（fb-x）=0，則函數（fx）的圖像關于點， 0）對稱.

推廣3：設函數（fx）的定義域為R，函數（fx）滿足（fx）+（f-x）=m，則函數（fx）的圖像關于點（0）對稱.

推廣4：設函數（fx）的定義域為R，函數（fx）滿足（fx）+（fb-x）=m，則函數（fx）的圖像關于點對稱.

推廣5：設函數（fx）的定義域為R，函數（fx）滿足（fa+x）+（fb-x）=0，則函數（fx）的圖像關于點對稱.

推廣6：設函數（fx）的定義域為R，函數（fx）滿足（fa+x）+（fb-x）=m，則函數（fx）的圖像關于點對稱.

證明：設點（x0，y0）在函數（fx）的圖像上，則有（fx）0=y0.

因為（fa+x）+（fb-x）=m，所以（fa+x0）+（fb-x0）=m.

從而（fb-x0）=m-（fa+x0），所以點（a+x0，（fa+x0））和點（b-x0，（fb-x0））都在函數（fx）的圖像上.又點（a+x0，（fa+x0））和點（b-x0，（fb-x0））關于點對稱，所以函數（fx）的圖像關于點對稱.

推廣7：設函數（fx）的定義域為R，函數（fx）滿足（fa+x）-（fb-x）=0，則函數（fx）的圖像關于直線對稱.

證明：設點（x1，y1）在函數（fx）的圖像上，則（fx1）=y1.

因為（fa+x）-（fb-x）=0，所以（fa+x1）-（fb-x1）=0.

所以（fa+x1）=（fb-x1），而點（a+x1，（fa+x1））和點（bx1，（fb-x1））關于，所以函數（fx）的圖像關于直線對稱.

推廣8：設函數（fx）的定義域為R，函數y=（fx）與函數y=-（f-x）關于點（0，0）中心對稱.

推廣9：設函數（fx）的定義域為R，函數y=（fx）與函數y=-（fm-x）關于點中心對稱.

推廣10：設a，b，c為常數，函數y=（fx）與函數y=g（x）的定義域為R，對?x∈R，均有（fc+x）+g（a-x）=b，則函數y=f（x）與函數y=g（x）的圖像關于點中心對稱.

證明：設點P（c+x0，（fc+x0））是函數y=（fx）圖像上的任意一點，則點P關于點的對稱點為Q（a-x，

0b-（fc+x0）），且（fc+x0）+g（a-x0）=b，所以g（a-x0）=b-（fc+x0），故點Q（a-x0，b-（fc+x0））是函數圖像上的一點，也即函數y=（fx）圖像上任意一點關于點的對稱點都在函數y=g（x）的圖像上，所以函數y=（fx）與函數y=g（x）的圖像關于點中心對稱.

評注：前面幾個推廣是經常考到的，而最后三個有一定的難度，比較少用.函數在高考中占有較大比例，同時函數對稱性是高考的熱點，通過對這些推廣的理解與記憶，能夠深化學生對函數的理解，能夠快捷、準確地解決高考中的函數對稱問題.