極限思想的解題應用與思考

☉江蘇省靖江市第一高級中學 王國軍

“極限”是數學中較為重要的概念，在數學的眾多問題中都有滲透，對于該類問題的分析可以采用極限思想，從趨近性角度來洞察問題的極端狀態，探索解題思路，下面將對極限思想進行解題探討.

一、解題分析與應用

1.函數問題

函數是高中階段最為重要的內容，也是其他知識學習的基礎，利用極限思維研究函數是數學中較為常用的一種方式，在分析函數的變化趨勢、取值范圍、單調區間等方面有著極好的便利性，是解決問題的重要思想方法.

例1已知函數f（x）=（x-2）ex-a（x-1）2（a＞0），試分析f（x）的零點個數.

分析：分析函數f（x）的零點個數，實際上就是分析函數的變化趨勢，需要繪制函數的圖像，可以借助函數的導函數，利用極限思想判定x→+∞和x→-∞時的變化趨勢，然后確定零點個數.

解：令（x-2）ex+a（x-1）2=0，則（x-2）ex=-a（x-1）2.令g（x）=（x-2）ex，g′（x）=（x-1）ex.當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；當x∈（-∞，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，且g（1）=-e＜0.

令h（x）=-a（x-1）2，由于a＞0，則函數h（x）的圖像開口向下，h（1）=0，則其頂點為（1，0）.

分析可知當x→-∞時，g（x）→0，即極限為0，h（x）→-∞；當x→+∞時，g（x）→+∞，h（x）→-∞，如圖1所示，由于a＞0時，函數g（x）和h（x）的圖像必有兩個交點，則原函數f（x）的零點個數為2.

函數的曲線變化反應的是因變量與自變量之間的聯系，其中隱含著較為重要的函數性質，而函數的這種獨有的變化實際上就是數學上的極限，即曲線的趨向性.利用極限思想求解時需要借助導函數，構建函數研究的模型，然后從極限角度分析曲線的趨向，函數問題的形式是多樣的，但從函數的性質出發，挖掘曲線的變化信息是最本質的解法.首先在區間［0，1］上取兩組均勻分布的隨機數：x1，x2，x3，…，xN和y1，y2，y3，…，yN，然后將其組成N個點（xi，yi）（i=1，2，3，…，N），最后從中抽取出滿足yi≤f（xi）（i=1，2，3，…，N）的點，設點數為N1，由此就可以估算出積分

2.概率問題

概率反映的是試驗結果出現的一種可能性，是一種試驗頻率，一般隨著試驗次數的增多、統計量的加大，頻率會越發準確地還原事件的真實情況，因此是一個抽象的數學概念，其本身就滲透著極限思想，利用極限思想來研究概率問題更貼近概率本源.

例2y=f（x）是區間［0，1］上的連續函數，并且在區間上始終滿足0≤f（x）≤1，現采用隨機模擬的方式來估算積分則其近似值為多少？

分析：根據題目信息可知，x∈［0，1］，y∈［0，1］，由極限思想可以將其理解為N個點（xi，yi）組成了一個面積為1的區域，估算積分的值需要從區域中提取出滿足條件的點，則相當于從中提取一塊面積，計算面積的比率.

解：N個點（xi，yi）組成了一塊面積為1的區域，而表示的是該區域的曲邊梯形圍城的面積，如

極限思想在概率研究中有著極為重要的地位，是其基礎理論建立的重要思想.微積分是高等數學的內容，在高中階段則可以采用極限的思想對其加以描述，即從區域面積角度構建模型.另外，極限思想可以還原概率的抽象過程，假設出概率問題的極端情形，從而獲得解決問題的有效方法，因此，極限思想是構建創造性解題思路的指導思想.

3.立體幾何問題

極限思想在立體幾何中的應用主要體現在對幾何形狀、面積、角度、長度的特定描述，可以從直觀角度完美呈現問題研究的模型.幾何求解中的特值法和假設法，常通過設定幾何圖形的相關參數來構建模型，其中就滲透著數學的極限思想，是極限思維的一種應用.

例3如圖3所示，圓的直徑為AB，C是圓上的一點，PA垂直圓所處的平面，DE垂直平分PB，交AB于點D，交PB于點E，已知PA=AC，PC=CB.如果點Q位于線段PA上，分析是否存在一點Q，使得PB與平面QCD成45°角？

分析：本題目求滿足PB與平面QCD成45°角時點P的位置，實際上為幾何動點問題，設PB與平面QCD所成角為θ，二面角Q-CD-E的平面角為α，則兩者之間存在如下關系：隨著點Q的移動，α的大小也會發生變化，可以使用極限思想，考慮點Q的極端位置P和A兩點處的情形，從而判斷θ為45°的可能性，則問題的關鍵是首先確定二面角Q-CD-E的平面角，可以利用立體幾何知識確定.

解：分析可知，CE⊥PB，DE⊥PB，則PB⊥平面CDE，有CD⊥PB.又因PA垂直底面圓，則PA⊥CD.由可知CD⊥平面PAB，則有CD⊥DE，CD⊥DQ，所以二面角Q-CD-E的平面角為∠EDQ.

設PB與平面QCD所成角為θ，二面角Q-CD-E的平面角∠EDQ為α，則有分析可知當點Q從點P移向點A的過程中，α是逐漸增大的過程，位于點P、A時處于極端位置.

在立體幾何中，點的運動會顯著改變幾何形狀，進而影響幾何的性質，使得角度、線段長度和幾何面積等發生變化，雖然這種變化的過程是復雜的，但一般存在著一定的數學規律，求解時就可以首先建立一個問題研究的模型，利用極限思想，設定幾何的特定情形來針對性研究，從而獲得具有說服力的結論.

二、思想解讀與教學

極限思想是以所研究內容為載體，遠高于知識內容的一種策略性指導思想.因此，極限思想是基于認知基礎上形成的，是對相關事物本源的深度挖掘，是對概念的一種本質認識，利用極限思想可以更加逼真地還原事物的本來面目.

高中數學的很多內容都滲透著極限思想，簡單到代數的數集，圖形中線的延伸，復雜到函數的漸近線、連續、極值等.另外數學的很多方法也都涉及極限思想，如常用的數學歸納法就是極限指導下的結論概括，球的體積與面積公式的推導所使用的就是極限思想.學習和使用極限思想不僅對于知識內容的掌握有著重要作用，對于拓展學生的數學思維同樣有著重要意義.

教學中對于極限思想的滲透需要遵循一定的思維過程，要結合特定的情形逐步引導學生完成從感性認識到理性思考的認知過渡.首先需要建立在學生認知沖突的基礎之上，使學生發現用已學知識難以解決問題，不能準確認識數學的概念或符號，如數學中的無窮大、無窮小，可適時地引入“∞”.然后需要從知識聯系性角度完成知識的過渡，使學生深度認識到極限思想理解數學知識的重要意義，如立體幾何中的棱錐的側面積，可以采用初中數學展開圖的方式，建立幾何求解的相關公式.極限思想最為關鍵的階段是對思想的理性論證，應立足于教材內容，從規律總結、結論探究角度進行，必須遵循科學的論證原則，如sinx和x的大小比較，可以采用數學上的特值法，也可以利用單位圓來直觀比較.教學中使用“認知沖突——知識過渡——理性論證”的模式更能使學生深刻理解極限的思想方法.

總之，極限的思想方法是中學階段十分重要的內容，利用極限思想不僅可以更為準確地描述數學的概念公式，還可以廣泛應用于數學解題中，優化解題過程，降低思維難度.極限思想是對事物本質的一種趨近，學習和使用極限思想具有重要的意義，高中階段對于該思想的教學應遵循科學的模式，以提高思想教學效率.