多面體外接球問題的“模式化”解題策略

☉福建省惠安荷山中學 楊春元

2018年《普通高等學校招生全國統一考試大綱》指出：“空間想象力是空間形式的觀察、分析和抽象的能力，主要表現為識圖、畫圖和對圖形的想象能力.”“對圖形的想象包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標志”［1］.立體幾何是考查空間想象能力的主要載體，多面體外接球問題能全方位、多角度、深層次考查空間想象能力，是高考試題的難點之一，這類問題由于不易畫圖而變得抽象難解，需要有圖想圖或無圖想圖.本文通過具體案例談談這類問題的“模式化”處理策略.

一、知識理解

1.多面體外接球問題

多面體的每個頂點都在同一個球面上，那么這個多面體是球的內接多面體，球是多面體的外接球，多面體的每個頂點到球心的距離都等于半徑，多面體每個面所在的平面與外接球的截面是每個面的外接圓.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，還要特別注意多面體的有關幾何元素與球的半徑和球心之間的聯系.

對稱幾何體中心為幾何體外接球球心：

（1）長方體外接球球心是其體對角線中點，半徑為體對角線長的一半.

（2）直三棱柱的外接球的球心是上下底面外心連線的中點，半徑可在以球心、底面圓心、底面一個頂點為頂點組成的直角三角形中求解.

（3）正棱錐的外接球球心在其高上，半徑可在以球心、底面中心、底面一個頂點為頂點組成的直角三角形中求解.

2.“模式化”解題策略

多面體外接球問題的核心是尋找球心求半徑.可構造長方體確定球心的有以下情形：正四面體、同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、對棱相等的三棱錐、四個面都是直角三角形的三棱錐、棱錐含有線面垂直關系（或可構造直三棱柱）.

確定球心求解半徑可以分三步：

（1）判斷幾何體是否為對稱幾何體（長方體、直三棱柱、正棱錐）、判斷幾何體是否可以補成長方體或直三棱柱；

（2）找幾何體的外接球球心（球心在過幾何體兩個面外接圓圓心的面的垂線交點處）；

（3）運算求解外接球的半徑.

二、問題辨析

例1（2017年福建省質檢理科10）空間四邊形ABCD的四個頂點都在同一個球面上，E，F分別是AB，CD的中點，且EF⊥AB，EF⊥CD.若AB=8，CD=EF=4，則該球的半徑等于（ ）.

分析：求解多面體外接球表面積關鍵是確定球心和半徑，找球心求半徑從理解幾何體入手，根據題意作出圖1.由已知條件，可得空間四邊形ABCD關于平面ABF對稱，也關于平面CDE對稱，所以球心O在線段EF上.

解：球心O，設OF=x，則OE=4-x，空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，且EF⊥AB，EF⊥CD.AB=8，CD=EF=4.

在Rt△OCF中，OC2=OF2+CF2=x2+22；

在Rt△OBE中，OB2=OE2+BE2=（4-x）2+42.

由OB=OC，得x2+22=（4-x）2+42，所以

小結：解決多面體外接球問題，首先要研究多面體，空間四邊形ABCD是軸對稱圖形，空間四邊形ABCD外接球的球心在對稱軸上，利用外接球球心到多邊形每個頂點距離都等于半徑列方程求解.

例2已知，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為______.

分析：求解多面體外接球表面積關鍵是確定球心和半徑，找球心求半徑從理解幾何體入手.本題為三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，可以構造長方體確定球心，進而求解半徑.

解：在△ABC中，AB=2，AC=∠BAC=30°.

由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=1，所以BC=1.

所以AB2=AC2+BC2，所以∠ACB=90°.

如圖2，構造長方體，所以PB為外接球的直徑.

在Rt△PAB中，PB2=PA2+AB2=5，所以

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=5π.

小結：解決多面體外接球問題，首先要研究多面體，四個面都是直角三角形的三棱錐，可以構造長方體確定球心求得半徑.

例3（2017年福建省單科質檢理科16）在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形二面角S-AB-C的大小為120°，則此三棱錐的外接球的表面積為______.

分析：求解多面體外接球表面積關鍵是確定球心和半徑，找球心求半徑從理解幾何體入手，根據題意作出圖3，易得SA⊥AB，取BA，BS中點D，E，得∠CDE為二面角S-AB-C的平面角，△SAB是以BS為斜邊的直角三角形，△ABC為等邊三角形，則三棱錐S-ABC的外接球球心是過點E的平面SAB垂線與過點I的平面ABC（點I為等邊△ABC的外心）的垂線的交點O.

所以SB2=AB2+SA2，所以∠SAB=90°.

取BA，BS中點D，E，

連接DE、DC，得DE⊥AB，DC⊥AB.

所以∠CDE為二面角S-AB-C的平面角.

所以∠CDE=120°.

所以△SAB是以BS為斜邊的直角三角形，△ABC是等邊三角形.

三棱錐S-ABC外接球的球心是過點E的平面SAB的垂線與過點I的平面ABC（點I為等邊△ABC的外心）的垂線的交點O.

在平面四邊形OEDI中，∠OED=∠OID=90°，DE=DI，∠DEI=120°.

所以Rt△ODI和Rt△ODE全等.

在Rt△ODE中，∠OED=90°，∠ODE=60°，DE=

三棱錐S-ABC的外接球半徑為OB.

所以三棱錐SABC外接球的表面積為21π.

小結：解決多面體外接球問題，首先要研究多面體，直角三角形的外接圓圓心是斜邊上的中點，正三角形外接圓圓心是正三角形中心，多面體外接球球心在過幾何體兩個面外接圓圓心的垂線交點處.

三、拓展思考

球體是完美的對稱幾何體.若幾何體是中心對稱圖形，則幾何體的中心即為外接球球心；若幾何體是軸對稱圖形，則外接球球心在幾何體的對稱軸上；若幾何體是平面對稱圖形，則外接球球心在幾何體的對稱平面上.若幾何體不是對稱圖形，幾何體能補成長方體或直三棱柱則外接球球心可找到.否則，球心在過幾何體兩個面外接圓圓心的垂線交點處.

確定了外接球球心，我們可綜合運用平幾、解三角形有關知識求解外接球的半徑，最后問題得解.

四、結束語

《普通高中數學課程標準》（2017年版）明確要求學生能獲得“基本活動經驗”，本文粗淺地為解決多面體外接球問題提供“基本活動經驗”，多面體外接球問題涉及方方面面，要想完美地解決多面體外接球問題，必須“重點提升學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象素養”.