關于香港與大陸高中教材中概率與統計內容的比較研究

☉華南師范大學附屬中學 林 琪

大數據時代的到來，帶給我們的三個顛覆性觀念轉變：是全部數據，而不是隨機采樣；是大體方向，而不是精確制導；是相關關系，而不是因果關系.在這種情形下，即便告知了所有數據信息但不加解釋，不懂的人依然不知道數據代表的信息.大數據不僅沒有推翻傳統的統計學，反而促進了統計學尤其是多元統計分析的應用.我們有理由相信，概率與統計的基礎知識已經成為一個未來公民的必備常識，數據分析已成為高中數學的核心素養.

高中數學課程中的概率統計部分也是我國當前數學課改的重要組成部分.通過對香港的概率統計部分教材的比較研究，不僅可以開闊我們的視野，也可以反思我國概率統計課程設置的現狀，以及需要改進的地方，同時對課堂教學多一些啟示和借鑒.作為教育工作者的我們更需要不斷地更新自己的知識體系，以更清晰的頭腦去迎接新挑戰.

一、教材信息對比

中國大陸人教A版是依據2003年《普通高中數學課程標準（實驗）》編寫的，分必修5本及文科選修2本、理科選修3本，鑒于大陸《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“標準（2017年版）”）不分文理教學，因此以下選取的人教A版教材為理科所學內容.

表1 教材樣本及基本信息

二、教材比較

（一）兩版教材概率與統計內容的比較

香港新高中數學與生活涉及概率與統計內容部分有3本書，A4開本，三本書合起來大約是490頁，學時大約為102節；人教A版有2本書，A4開本，兩本一共大約200頁，學時大約為60節.具體內容比較見表2.

香港目前使用的各種版本的高中數學教材，都是依據2007年制訂的《數學課程及評估指引（中四至中六）》編寫的.朗文香港教育出版公司出版的教材香港新高中數學（以下簡稱“新高中”）分為必修部分（4A、4B、5A、5B、6A（6B為復習用書））和延伸部分（相當于大陸選修數學內容），延伸部分又分為單元一（微積分與統計）、單元二（代數與微積分）.根據香港2007年頒布的《新高中課程及評估指引》（數學）要求，所有高中學生必須修讀數學必修內容才可以畢業，也可以在必修部分之外再選修單元一或者單元二中的其中一個單元內容.

《微積分與統計2》的序言指出：“為希望對數學應用有更廣闊、更深入了解的學生而設計”；“旨在讓學生涉獵在必修部分以外的數學技能——微積分與統計；從中學生不僅能掌握這兩方面的概念和技巧，更能對數學的應用有更深入的了解.本系列亦幫助學生在將來的事業發展上，具備更廣闊的眼界.”從這里可以看出，《微積分與統計2》是供相當于大陸的理科學生選修的.

表2 教材知識內容對比

第11章離散概率分布：隨機變量；離散概率分布及其表示方法；離散隨機變量的期望值和方差18選修第12章一些特殊離散概率分布：伯努利分布；二項分布；幾何分布；泊松分布；選用適當的概率分布解生活中的問題6 第2章隨機變量及其分布：離散型隨機變量及其分布列；條件概率；二項分布；22第13章正態分布及其應用：連續隨機變量的概念；正態分布；正態變量的標準化；正態分布的應用第14章點及區間估計：統計推論簡介；樣本平均值的抽樣分布；點估計；區間估計12第3章統計案例：回歸分析；獨立性檢驗16

就高中數學而言，學習的概率論知識通常包括概率及其基本性質、隨機變量及其分布、隨機變量的數字特征、條件概率和一些常見的概率分布等.統計知識有收集數據和分析數據兩方面，前者是抽樣調查，包括隨機抽樣方法等內容；后者是統計推斷，包括抽樣理論、參數估計（點估計、區間估計）、假設檢驗、回歸分析等.

在概率方面，兩套教材涉及的內容基本相同（見表3）.相較而言，新高中數學的內容更詳實一些，知識廣度更大，知識深度更深.以兩個或多個隨機事件的概率部分為例，人教A版只涉及互斥事件、對立事件及條件概率、獨立事件，而且主要處理的是兩個隨機事件的概率問題，沒有推廣到三個，甚至多個隨機事件的概率問題上更多是特殊形式，對于一般形式的概率加法公式及乘法公式則是只字不提.新高中數學對概率的加法定律則涉及非互斥事件概率求解并配有相應的例題與習題，概率的乘法定律這部分內容則先后安排了條件概率與獨立事件、貝葉斯定理這兩個主題，除了兩個隨機事件的情況，還推廣到一般情形.

表3 教材知識差異對比內容對比

在統計方面，兩套教材均涉及抽樣調查.在統計推斷方面，新高中數學在分析數據方面是以抽樣理論及點估計等統計的復雜知識為主，主要從隨機變量的角度理解抽樣，認識一個隨機樣本的樣本平均值的抽樣分布、總體平均值的置信區間.人教A版則是以相關分析、回歸分析、獨立性檢驗為主，意在讓學生體會統計方法在生活及決策中的作用.從知識廣度而言，人教A版涉及的內容更多一些.張奠宙曾指出“對統計的學習要比概率的學習多一些，因為統計數據中隱藏著概率的特性”，這在中國大陸高中統計與概率教材中得到了較好的體現.但從知識深度來看，新高中數學涉及的統計知識難度更大，為了更完整地建立知識體系，在點估計一章中設置了無偏估計、點估計、抽樣分布、中心極限定理、置信區間等內容，這對高中生來說，在認知與理解上還存在一定的困難.比如中心極限定理不是一個定理，而是一組定理，分別適用于不同的條件.但基本可以用一句話來概括它們：大量相互獨立的隨機變量，其求和后的平均值以正態分布（即鐘形曲線）為極限.這些都是理解的難點所在.

以上均可看出新高中數學更注重知識體系的完整性，與大學教材能更好地銜接，但由于難度要求是比較高的，所以學生理解起來會比較費力，教師的教學也存在極大的挑戰.人教A版則舍難取易，這是因為中國大陸涉及統計與概率的教學起步較晚，教材編寫更多地貼合學生的認識水平.但在部分知識的處理上，人教A版過于重視特殊情形，忽視一般情形，這會容易使學生的認知結構產生偏差，知識體系出現漏洞，易對后續大學嚴謹性的學習產生不良影響.

（二）教學內容編制先后順序

從兩套教材概率統計的內容編制設置的差異性來看，最為明顯的有如下兩個方面：

1.概率與統計孰先孰后

香港新高中數學是先學概率再學統計，主要是因為概率是統計的理論基礎.在必修及選修中，新高中數學先將概率理論體系建立起來，搭建了更好的知識框架.后續學習選修中的統計問題時，在建立隨機變量的基礎上，利用概率理論進行研究.這樣有助于學生建立清晰完整的概率體系，對統計問題有更深的認識.

人教A版是先統計后概率再到統計案例，先從生活中數據收集等統計問題入手，到隨機現象規律的發現，再到實際應用.這里體現的是從生活到數學再到生活的理念，學生更容易接受生活中的統計現象，進而提升到理論學習的階段，再利用統計知識解釋生活現象，這樣安排符合學生的認知結構.

實際上，概率論是統計學的基礎，而統計學是概率論的發展，兩者密不可分，孰先孰后均可以處理，但更為深層次的統計學知識必定是在概率論的基礎上學習，可以看到兩套教材在選修部分均是先概率再統計的結構.

2.理論與應用孰先孰后

香港新高中數學在必修概率學習中，將事件互斥、獨立、概率的乘法公式、條件概率均放置其中，理論體系更為完整，同時將排列組合等理論先行，意于在新知識學習之前掃清方法及原理障礙，達到一氣呵成之效.在隨機變量及后續的幾章中，教材是通過日常的一些概率問題理解離散型隨機變量，并研究其性質、均值與方差，到特殊的分布列，再到正態分布（連續性隨機變量），理論體系更嚴謹，知識應用更到位.

人教A版的處理是先離散型隨機變量，后二項分布（主要安排了什么是二項分布），再離散型隨機變量的數學期望與方差，再研究二項分布的均值與方差.這種處理體現的是螺旋式上升，理論與應用交錯前行.但人教A版將條件概率、獨立性均作為二項分布學習的輔助性知識，放在《二項分布》一節.這種呈現方式一方面容易使學生在知識范疇上出錯，誤將條件概率、事件的獨立性歸屬為隨機變量的范疇，影響了學生知識結構的建構；另一方面忽略了這兩者在整個概率與統計學習中的重要作用，尤其是事件的獨立性，它不僅是超幾何分布的基礎，也是獨立性檢驗的基礎.

理論是應用的基礎，應用是理論的實踐，兩者密不可分，但對于二項分布或其他特殊的分布列來說，不應打亂理論體系，而是類似新高中數學一樣，作為特殊的分布列進行研究.當然在前面隨機變量的理論學習中，可以像新高中數學一樣提供更多豐富生活的例子，從概念的外延輔助學生理解.

（三）兩版教材概念教學的處理方式比較

1.概率概念的處理

香港新高中數學從理論概率定義了概率，提及了樣本空間（未進行說明），再到實驗概率，談到實驗中有足夠的試驗次數，則實驗概率與理論概率非常接近.香港新高中數學處理概率的概念處理起來比較簡潔，沒有拖泥帶水，而且依托于初中概率知識，后續著重于新知識的研究.

而人教A版是從生活中的隨機現象談起，再到度量隨機事件發生的可能性大小，從實驗概率的角度定義概率，并對頻率與概率進行比較，通過概率的意義一節，從概率的正確理解、游戲的公平性、決策的概率思想、天氣預報的概率解釋、試驗與發現、遺傳機理中的統計規律這六個方面加深對概率的理解.理論概率則是在古典概率模型中研究得到.從這里可以看出人教A版的概念學習更注重體會與感悟，更重視對實驗概率的理解.

概率定義一般涉及古典定義（理論概率）、統計定義（實驗概率）、公理化定義這三種形式，大部分高中教材是以前兩種開展教學，可以發現兩套教材對于樣本點、樣本空間均未涉及.但作為概率的概念而言，如果未能學習隨機試驗、樣本空間、樣本點這部分概念，學生會對概率的概念難有更深層的理解，在處理概率問題時學生還容易產生“什么是基本事件，怎么才算基本事件”這樣的疑惑.適度的抽象并不是壞事，增設樣本點、樣本空間這部分知識可以促使學生更好地理解概率的內涵，對后續的古典概型、幾何概型的理解可以有更多的幫助.

2.正態分布的處理

香港新高中數學在選修中專門有一章介紹正態分布，教材處理時開門見山，直接從許多數據呈正態分布，給出正態分布的定義及性質，并介紹了標準正態分布及正態變量標準化，并能利用標準正態分布表求概率，以及處理涉及正態分布的應用問題.

人教A版兩處出現正態分布，一是在必修3第二章統計的《用樣本估計總體》的課后閱讀與思考《生產過程中的質量控制圖》出現，介紹了3σ原則，闡述了運用統計原理進行產品質量控制的基本思想；二是在選修2-3的離散型隨機變量的均值與方差之后，再從高爾頓板引入，從試驗次數的增加及球槽的去掉后，研究小球落在高爾頓板的位置引出并定義了正態分布.這個過程中體現了樣本容量比較大的時候，二項分布近似于正態分布.在正態分布的處理上，人教A版更多地是認識什么樣的隨機變量服從正態分布，體會相應的性質，并只涉及一些特殊的概率值的求解.

從知識容量可以看出，香港新高中數學更重視正態分布，一方面是香港新高中數學更追求知識的嚴謹性與系統性，另一方面是正態分布是后續點估計及區間估計的理論基礎，也是中心極限定理的基礎.相比較，人教A版更注重正態分布的應用尤其是3σ原則，2017年新課標Ⅰ卷還以其為背景設置了概率統計題.但實際上，人教A版對與正態分布相關的一些理論學習并未到位，學生對于正態分布的理解很少，應用起來也很困難.因此，人教A版仍需加強對正態分布的學習，可將標準正態分布編入高中數學教材，更好地解決正態分布的概率分布問題，以幫助學生更好地理解正態分布.

3.兩版教材概念處理的思考

兩版教材概念處理時，均會從生活中相關的問題引入，注重與生活的聯系.香港新高中數學則多從概念外延尋找例子，這樣有助于學生從中抽取概念的本質特征，歸納得出概念的內涵.人教A版的引入方式相對更多元化一些，有些是概念外延的例子，有些是與概念相關的歷史（如高爾頓板），將數學史融入到教材中，學生閱讀起來會相對更有趣一些.但人教A版這種方式有時也會使得學生對于這部內容過于關注，導致主線不明朗，知識結構不夠清晰，同時也不夠直接干脆.倒不如將類似這樣的內容改為課后閱讀與思考，一方面可以提升數學的趣味，另一方面可以增加學生的知識應用.

（四）兩版教材其他方面的對比

1.總結框架對比

曹飛羽先生認為：“一個學科的教材結構必須是能反映這個學科的各要素、各成份（包括知識、技能、智能、思想觀點等）之間合乎規律的組織形式……它的組織形式必須考慮學生的認知心理特點和認知的方法，便于使學科的知識結構轉化為學生的認知結構.”人教A版“統計與概率”部分非常到位地做到這一點，結構合理，其知識間縱橫聯系比較緊密.人教A版還結合本章節內容進行回顧與思考，并設置了一些相關的問題.香港教材在這點上遠不如中國教材，只是呈現重點知識及重點例題的羅列，但對于知識內容之間的關聯性未能體現.

2.例題及習題對比

新高中數學教材題量大，每一節配有例題，例題解答中以公式居多，并在旁邊加以注釋，如說明符合或使用了哪個定律或公式、解題錦囊、備忘、草稿等.每個例題后配有即時練習題.每一節后面設置了初階、進階兩個層次的練習題.每一章后面設置了總復習題，分初階、進階、挑戰題三個層次.

人教A版每節一般都配有相應的例題，在例題后面有時會設置相關思考題，作為例題的補充，完善學生的認知結構.在每小節之后設置了練習題，在每一節后面設置了A組、B組題，每一章后面設置復習參考題、實習作業等，既培養了學生動腦的能力，又培養了學生動手的能力.

從這里可以發現兩本教材例習題的設置方法大致類似，理念也比較一致，能注重學生不同維度的能力發展.從題量上來看，新高中數學題量相當于人教A版的2倍左右，背景更多元更新穎，有助于學生自主選擇，達到及時反饋的作用，但也致使教材又厚又重，用起來不方便.人教A版更精挑細選，例題與習題分開，閱讀感受會更舒服，學生也能更快速把握知識體系，意在指導學生能從有限的題目去理解知識的本質.

三、結論與啟發

（一）兩本教材優缺點的歸納

香港新高中數學概率與統計這部分內容知識體系比較完整，理論涵蓋特殊及一般情形，部分比較復雜的定理未給出證明而直接應用，注重對概念、定理的解讀及注釋，例題習題典型且豐富，比較全面地覆蓋了重要的知識點與方法技巧，確實能為進入大學學習概率統計的學生打下比較扎實的基礎.從閱讀的感受來看，教材圖文并茂，從不同的色塊能快速鎖定知識.但因各類習題量過多，又加之每個習題都附有答案，致使教材厚重，用起來不太方便.

人教A版在統計與概率這部分內容重在應用，貼近生活；在知識引入方式和表征方式上，方法靈活多樣；例題及習題能串聯起其他學科的知識，綜合性強.但在知識體系中主要是概率相關理論先后順序有點不太合適，并過分關注特殊情況的研究，這會讓學生對于概率體系理解時存在偏差，還容易產生一些負面影響；還不利于學生學習大學的概率論與數理統計的相關知識，因為他們還必須重新學習樣本點、樣本空間、條件概率與隨機事件的獨立性、全概率公式和貝葉斯公式等概率的知識.

（二）向香港新高中數學教材學習的內容

1.概率與統計理論內容更趨于嚴謹，適當增刪知識

兩版教材的知識點重合度比較高.人教A版中的回歸分析及獨立性檢驗這兩部分內容雖然香港新高中數學未涉及，但相對而言實際背景比較貼合學生的日常生活，理論比較符合學生的認知水平.新高中數學中點及區間估計、中心極限定理這部分內容是人教A版未涉及的，但其理論相對比較深，是結合概率的角度研究統計問題，對于高中生來說理解起來比較困難.

曹一鳴教授在《高中數學課程標準的國際比較研究》一書對十五個國家的文科或理科，基礎或專業的課程標準中的概率對比中，提到“列聯表”、“線性相關”、“最小二乘法”、“區間估計”、“置信區間”等是次受重視的，可以發現人教A版的知識點覆蓋還是比較合理，如果增加了點及區間估計等相關內容，有可能會增加學生的學業負擔，同時不一定所有的學生能在這一部分知識上得到能力的發展.

另外，從標準（2017年版）發現，對于更深層次的概率與統計的內容在A類課程的概率與統計專題及B類課程中的應用統計專題再進一步提升.這也將是即將面世的教材中一大亮點，也是課程標準（2017年版）理念“學生發展為本，立德樹人，提升素養”的體現.

A類課程（數理類）概率與統計專題B類課程（經濟、社會、部分理工類）應用統計專題概率連續型隨機變量及其分布（均勻分布、正態分布、卡方分布、t-分布）、二維隨機變量及其聯合分布（均值、方差、協方差、相關系數）連續型隨機變量及其分布（均勻分布、正態分布、卡方分布、t-分布）、二維隨機變量及其聯合分布（均值、方差、協方差、相關系數）統計參數估計（矩估計和極大似然估計）、假設檢驗、二元線性回歸模型參數估計（矩估計和極大似然估計）、假設檢驗、二元線性回歸模型、聚類分析、正交設計

在細節方面的知識點，標準（2017年版）也有改變（詳見圖1），如增加了概率乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式（選學內容），這與香港新高中數學的內容會更接近，不謀而合.

當然，香港新高中數學教材特別注重概率問題解決中的策略主要包括韋恩圖、樹形圖、點陣圖等，在離散型隨機變量注重概率分布的多元表征，將函數、圖像等形式顯性地表現出來，如果新版教材也能在這些方面有所學習，會更好地提高學生解決問題的能力.

2.厘清統計與概率各部分內容的關系，適當地調整編排順序

標準（2017年版）理念中強調“優化課程結構，突出主線，精選內容”，專設了概率與統計這一條主線，現行人教A版在概率與統計這部分的知識結構有待調整，從標準（2017年版）可知有如下幾個方面變化（見圖1）：

圖1 中國大陸普通高中課程標準（2017年版）概率與統計內容主線

（1）先概率后統計，體現了“概率為統計的發展提供理論基礎”.

（2）事件的獨立性安排在必修部分的隨機事件的概率中，條件概率及乘法公式（新增）則放在選修部分.這使內容的相關性更強，結構更為合理.排列組合仍安排在選修課本中，這與新高中數學不同，其主要目的是為了在必修學習概率問題時淡化運算，讓學生更多聚焦到對古典概型的理解上，經歷建立概率建模的主要步驟.

（3）在統計初步，以收集數據、分析數據為主，并選擇適當的統計圖表描述和表達數據，再從樣本數據中提取需要的數字特征，估計總體的統計規律，解決相應的實際問題.回歸分析、獨立性檢驗的這部分相對比較難的內容整合到選修中.

（4）概率將結合具體實例，從樣本點、樣本空間去理解隨機事件與樣本點的關系，從古典概型中去理解隨機事件發生的概率，即理論概率.而這一理想化的理論數值無法通過具體實踐獲得，人們可以通過大量的重復試驗獲得的頻率來估計概率的大小，從而引入概率的統計定義，作為概率的補充，促進概念的理解.