對一些命題的否定要注意避免邏輯上的錯誤*

☉福建省泉州第五中學 黃種生 王輝耀

一些數學題，理解或從正面直接求解有困難時，經常會用到命題的否定，間接理解或者間接求解，這時常常會發現，問題變得簡單了.但這不是絕對的，有時候在對命題進行否定時，問題并沒有變得簡單，反而更復雜了，不小心還會出現推理上的錯誤，引起思維的混亂.下面指出幾個高中常見的此類問題，以期引起大家的重視.

例1 設全集為R，求下列集合的補集.

分析：這題有兩種解法，解法一是先解不等式求集合A，再求A的補集；解法二是用命題的否定，先寫出集合A的補集的形式，再解不等式求出A的補集，現用解法二解題.

解：（1）RA={x|x2-3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}.

由第（2）和第（3）小題知道，對不等式進行否定，不僅要在不等式有意義時進行否定，還要考慮到不等式無意義時變量的取值范圍，否則就會出現錯誤.

例2（陜西人民出版社出版的2018年理科數學《創新設計二輪專題復習》P83的例6）若對任意t∈［1，2］，函數在區間（t，3）上總不為單調函數，則實數m的取值范圍是______.

解法一：g（′x）=3x2+（m+4）x-2.若g（x）在區間（t，3）上總為單調函數，則g（′x）≥0在（t，3）上恒成立，或g（′x）≤0在（t，3）上恒成立.

由3x2+（m+4）x-2≥0，得m+4≥-3x，當x∈（t，3）時恒成立，所以m+4≥-3t恒成立，則m+4≥-1，即m≥-5；

由3x2+（m+4）x-2≤0，得m+4≤-3x，當x∈（t，3）時恒成立，所以m+4≥-9，即m≤-.

所以，使函數g（x）在區間（t，3）上總不為單調函數的m的取值范圍為-＜m＜-5.

解法二：g（′x）=3x2+（m+4）x-2.

因為g（x）在區間（t，3）上不總為單調函數，所以g（′x）在（t，3）上的值有正有負，由于g（′0）=-2＜0，所以方程g（′x）=0的根必是一正一負，且正根在區間（t，3）上.

所以，使函數g（x）在區間（t，3）上總不為單調函數的m的取值范圍為-＜m＜-9.

分析：解法一是書本提供的“規范解答”，它是先對命題進行否定，求出命題的反面時m的取值范圍，從而求出m的取值范圍.解法二是從正面出發，直接求出m的取值范圍.兩者的答案是不一樣的，即兩種解法中必有一種是錯誤的.分析發現，解法一是錯誤的，即書本提供的“規范解答”是錯誤的，那么，它錯在哪里呢？就錯在對命題的否定上.

由于原命題是全稱命題，必須用到對全稱命題的否定，所以它的否定是“存在t0∈［1，2］，使得函數g（x）在區間（t0，3）上為單調函數，即存在t0∈［1，2］，使得g′（x）≥0在（t0，3）上恒成立，或g′（x）≤0在（t0，3）上恒成立.”

而解法一是這樣寫的：“若g（x）在區間（t，3）上總為單調函數，則g′（x）≥0在（t，3）上恒成立，或g′（x）≤0在（t，3）上恒成立.”它并沒有指出t的取值范圍，但從解題過程中我們看出，它用的是上述問題對任意t∈［1，2］恒成立，這一判斷不是對原命題的否定，從而是錯誤的.

因此，從反面求解，正確的解法是：

解法三：g′（x）=3x2+（m+4）x-2.如果命題不成立，則存在t0∈［1，2］，使得函數g（x）在區間（t0，3）上為單調函數，即存在t0∈［1，2］，使得g′（x）≥0在（t0，3）上恒成立，或g′（x）≤0在（t0，3）上恒成立.

由3x2+（m+4）x-2≥0，得m+4≥-3x，當x∈（t，3）0時恒成立，即存在t∈［1，2］，使m+4≥-3t，則m+4≥00-5，即m≥-9；

由3x2+（m+4）x-2≤0，得m+4≤-3x，當x∈（t，3）0時恒成立.

所以，使函數g（x）在區間（t，3）上總不為單調函數的m的取值范圍為-＜m＜-9.

從例2可以看到，解法一對命題的否定時，沒有把“任意t∈［1，2］”改為“存在t0∈［1，2］”，從而出現了邏輯上的錯誤，導致書本提供的“規范解答”出錯.

例3（2018年全國理科Ⅰ卷第20題）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產品是否為不合格品相互獨立.

（Ⅰ）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0.

（Ⅱ）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格，以（1）中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（1）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E（X）；

（2）以檢驗費用與賠償費用和的期望值作為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

分析：高考后，本題第（Ⅱ）問的（2）有爭議，問題出在對題設條件“是否對余下的所有產品作檢驗”的理解不同.

理解一：這是官方的理解，本題是統計題，面對的是大批量的產品，產品成箱包裝，每箱200件，每箱先抽取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，這里的選項只有兩個：要么對余下的所有產品作檢驗（全檢），要么對余下的所有產品都不作檢驗（全不檢），不存在部分檢驗的問題，由此得到的官方解答是：

解法一：（Ⅱ）（2）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢查費用為400元.

由于E（X）＞400，故應對余下的產品作檢驗.

站在統計學的角度來看，這種解答是沒有問題的，因為它考慮的是實際需求，要檢驗的是大批量的產品，不僅僅是一箱，而是許多箱，所以只需對“全檢”和“全不檢”的費用作比較即可.但是，懂得這種統計學背景知識的只有具有產品檢查經驗的人才知道，普通高中生和中學一線數學老師對這種背景要求并不清楚，他們只能從題目的文字表述中去進行理解，這就產生了第二種理解.

理解二：“是否對余下的所有產品作檢驗”包含兩個內容：

①是.對余下的所有產品作檢驗，即“全檢”.

②否.不對余下的所有產品作檢驗.這是對全稱命題的否定，包括對余下的所有產品都不作檢驗和對余下的部分產品作檢驗，部分產品不作檢驗，即“全不檢”和“部分檢”.由此產生了第二種解答：

解法二：（Ⅱ）（2）設對這箱余下的180件產品中的r（0≤r≤180）件產品作檢驗，檢驗費用與賠償費用和記為Y，則E（Y）=2r+25（180-r）×=450-，易知E（Y）單調遞減，當r=180時，E（Y）取得最小值.

所以應對這箱余下的所有產品作檢驗.

從以上分析可以看出：站在統計學的角度來看，題目是正確的，題意是清楚的.但是，普通的高中生和中學一線數學老師對這種背景要求并不清楚，由于高中生在高中數學課本邏輯部分學過對全稱命題的否定，高考還經常在選擇題中對此進行考查，而且該題目又是出現在全國的數學高考卷中，因此，第二種理解及相應的解法是正常的、合理的.從中我們看到命題人雖然用心良苦，但由于忽視了對全稱命題的否定的理解，從而引起了爭議.如果注意到這個問題，把題目中的題設條件“再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗”改為“再根據檢驗結果決定對余下的所有產品要么全作檢驗，要么全不作檢驗”.這樣改雖然稍顯繁瑣，但題意就更明確了，不會引起誤解.

從上可以發現，對一些由式子表達的命題，恒成立的命題，由“或”與“且”連接的命題進行否定時，要注意其邏輯關系，才不會出錯或者引起思維的混亂.