試論L可測集的充要條件

摘 要：本文首先引入了外測度、可測集、Gδ型集、Fσ型集的定義，然后總結和歸納了L可測集的充要條件。

關鍵詞：外測度；可測集；充要條件

一、 預備知識

定義1 設ERn，對每一列覆蓋E的開區間∪∞i=1IiE，作出它的體積和μ=∑∞i=1|Ii|，所有這一切的μ組成一個下方有界的數集，其下確界稱為E的勒貝格外測度，簡稱L外測度或外測度，記為m*E，即，m*E=infE∪∞i=1Ii∑∞i=1|Ii|。

定義2 設ERn，如果對任意點集T都有m*T=m*（T∩E）+m*（T∩Ec），則稱E是L可測的，記為mE。上述等式稱為卡拉西奧多利（Caratheodory）條件，可測集全體記為μ。

勒貝格最初是用內、外測度給出L可測集的定義，即，設E為Rn中的有界集，I為任一包含E的開區間，記m*E=|I|-m*（I-E），稱為E的內測度，如果m*E=m*E，則稱E是L可測的；又設E為Rn中的無界集，如果對任意開區間I，有界集I∩E都是L可測的，則稱E是L可測的。點集內、外測度的直觀意義相當于用圓的內接多邊形面積與外切多邊形面積來近似圓的面積，雖然比較真實自然，但要使用兩個概念，還要區別有界集與無界集，討論問題常常不太方便。卡拉西奧多利條件是一個較為簡潔的等價條件。對Rn中的點集E，E可測相當于它能夠分割測量任何點集T的外測度。E把T分割為T∩E與T∩Ec，則其并集的外測度等于這兩個點集的外測度之和。

定義3 若集合G可表示為一列開集{Gi}的交：G=∩∞i=1Gi，則稱G為Gδ型集。

定義4 若集合F可表示為一列閉集{Fi}的和：F=∪∞i=1Fi，則稱F為Fσ型集。

二、 可測集的充要條件

根據上述定義，我們歸納總結出可測集的充要條件。

定理1 設ERn，則：

（1）E可測的充要條件是Ec可測；

（2）E可測的充要條件是對任意的AE，BEc總有m*（A∪B）=m*A+m*B；

（3）E可測的充要條件是對任意的ε>0，存在開集GE，使得m*（G-E）<ε；

（4）E可測的充要條件是對任意的ε>0，存在閉集FE，使得m*（E-F）<ε；

（5）E可測的充要條件是對任意的ε>0，存在開集G和閉集F，使得GEF且m（G-F）<ε；

（6）E可測的充要條件是存在Gδ型集GE，使得m（G-E）=0；

（7）E可測的充要條件是存在Fσ型集FE，使得m（E-F）=0；

（8）E可測的充要條件是存在Gδ型集G和Fσ型集F，使得GEF且m（G-F）=0。

注 由定理1可知任何可測集可以表示成一個Gδ型集和一個零測集差集，或者一個Fσ型集和一個零測集的并集。因此只要有了全部的Gδ型集或Fσ型集（它們只是Borel集的一部分）和全部的零測集，那么一切L可測集均可獲得。該定理說明了L可測集和Borel集之間的關系。但是不能認為這兩類集族是等同的，因為確實存在不是Borel集的可測集，所以Borel集是L可測集的真子集。

定理2 設ERn為有界集，則E可測的充要條件是inf{mG：G是開集，EG}=sup{mF：F是閉集，FE}。

證明：必要性。由E可測和定理1（3）（4）可得對任意 ε>0，存在開集G和閉集F，使得GEF且m（E-F）<ε。因此mG=mE+m（G-E）mE-ε。由確界定義，inf{mG：G是開集，EG}=mE=sup{mF：F是閉集，FE}。

充分性。對任意開集GE和閉集FE，由外測度性質可得mF≤m*E≤mG。則sup{mF：F是閉集，FE}≤m*E≤inf{mG：G是開集，EG}。又由（1）可得sup{mF：F是閉集，FE}=m*E=inf{mG：G是開集，EG}。由確界定義，對任意ε>0，存在開集GE使得mG

參考文獻：

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[3]孫清華，孫昊.實變函數內容、方法與技巧[M].武漢：華中科技大學出版社，2004.

作者簡介：

葉一蔚，重慶市，重慶師范大學。