郎肯循環中滑片式膨脹機基本方程的研究

江衛

摘要：現有的用于分析膨脹機輸出功率的焓降方程和等熵膨脹做功方程均不能反映試驗中實測到的與轉速相關的非線性特征。本文利用朗肯循環中的輸出功率方程證明了常用的膨脹機特征方程缺少反映非線性特征的分量；通過引入膨脹機內部泄漏流量，建立了與實測的朗肯循環中滑片式膨脹機轉矩-轉速曲線和功率-轉速曲線特征完全一致的數學模型，為分析朗肯循環特性提供了理論依據。

Abstract： The existing enthalpy drop equation and the isentropic expansion work equation for analyzing the output power of the expander cannot reflect the measured nonlinear characteristics related to the speed in the test. In this paper， the output power equation in the Rankine-cycle is used to prove that the commonly used expander characteristic equation lacks the component that reflects the nonlinear characteristic. By introducing the internal leakage flow of the expander， the mathematical model with the same characteristics of torque-speed curve and power-speed curve of the vane expander in the measured Rankine cycle is established， which provides a theoretical basis for analyzing the characteristics of the Rankine cycle.

關鍵詞：朗肯循環；滑片式膨脹機；等熵膨脹；非線性特征

Key words： Rankine-cycle；sliding vane expander；isentropic expansion；nonlinear characteristics

中圖分類號：TB653 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）33-0155-04

0 引言

隨著節能意識的加強和對低品位熱能利用需求的增加，對適用于低品位熱能利用的原動力機的研究也日益引起重視[1]。20世紀70年代，美國研制出60kW的螺桿膨脹動力機，用于地熱發電，80年代后期美國又成功研制1000kW的地熱水螺桿膨脹動力機，內效率高達65～74%，同一時期，日本也成功研制出利用工業鍋爐飽和蒸汽發電的102kW螺桿膨脹動力機。進入21世紀，日本更是將螺桿膨脹發電設備制造標準化、系列化，為推廣利用低品位熱能生產出50kW的槽裝式成套設備，便于模塊化組合應用。

除了螺桿膨脹機，其他各類型膨脹機也被相繼提出。文獻[2]記載了2002年美國Purdue大學的Back等人用活塞式膨脹機替代跨臨界CO2系統的節流閥，系統效率提高了10%；文獻[3]記載了Marland大學的Huff等人利用汽車空調的渦旋壓縮機制造成膨脹機并進行測試，計算出等熵膨脹效率達42%；文獻[4]記載了德國Dresden大學研制出的三級膨脹式自由活塞式膨脹機絕熱效率達50%。在國內，西安交通大學開發的自由活塞式膨脹機絕熱效率高達62%[5]；天津大學先后研發了滾動轉子式和擺動轉子式膨脹機[6]。文獻[7]提到，Fukuta M等人對滑片式膨脹機進行了理論模擬，并認為泄漏是影響效率的主要原因，油泵改造后的滑片膨脹機經測試，效率達到43%。此外，Musthafsh等人對滑片膨脹機用于有機工質朗肯循環的系統進行了測試[8]，指出滑片式膨脹機軸力矩和輸出功率隨轉速變化的非線性特性，但這些非線性僅從絕熱膨脹焓降做功方程或者絕熱指數膨脹做功方程中尚無法反應出來。

由以上分析可知，導致滑片機軸力矩和輸出功率隨轉速非線性變化的主要原因是膨脹工質的粘性作用。一方面，工質在膨脹機內因自身粘性摩擦產生功耗；另一方面，工質通過膨脹機內部間隙產生的粘滯力將對轉子產生副作用。基于此，論文主要通過分析從朗肯循環中取得的滑片式膨脹機實測數據特性，重新建立并完善郎肯循環中膨脹機基本方程組，該方程組具有與實驗成果一致的特征構架和趨勢模型。

1 滑片式膨脹機動力特征

圖1所示為用于實測滑片膨脹機性能的朗肯循環結構圖。

圖2和圖3分別為滑片機幾個不同參數的特性曲線[8]。

從圖中可以看出，在熱源和冷源溫差不變的情況下，滑片式膨脹機的轉矩-轉速曲線和功率-轉速曲線具有明顯的非線性特征，即：

①膨脹機的輸出扭矩和輸出功率相對于轉速都有一個最大值。

②在經過最大值的轉速以后，不論扭矩還是功率，都顯現隨轉速的增加而加速降低的趨勢，其中功率最大的轉速高于扭矩最大的轉速。

③扭矩和功率的最大值及其經過最大值以后的下降曲線，同時呈現隨冷熱的溫差增加而抬高平移。

由此可見，適用于郎肯循環中的滑片式膨脹機的基本方程必須完整反映上述實測特征。

2 郎肯循環系統基本方程

2.1 通用穩態方程

為便于分析，本文采用與文獻[8]一致的，郎肯循環下的膨脹機基本方程進行分析。在如圖1所示的郎肯循環系統中，包括膨脹機、蒸發器、冷凝器、工質泵等設備的工況狀態在郎肯循環系統內相互銜接，同時又與外部冷、熱源能量交換相關聯，即：

式中，W1為由外幣參數表達的朗肯循環功率方程；W2為工質泵交換功率；α和β均為修正系數；c1、c2、c3依次為工質、熱源和冷源的定壓比熱容；m1、m2、m3依次為工質、熱源和冷源的質量流量；b1和b2分別為蒸發換熱系數和冷凝換熱系數；ξ1和ξ2分別為熱源和冷源的修正系數（無量綱）；T為溫度；Q為熱功率。

由于沒有限定膨脹機的類型，因此，上式也適用于對滑片式膨脹機的分析。

2.2 系統方程與實測特性比較分析

2.2.1 功率-轉速特征

上式表明，郎肯循環系統下膨脹機功率，除了與熱源能量Q、冷熱源溫差ΔT以及工質熱物質特性相關外，與轉速n呈二次拋物線型的非線性關系。

2.2.2 轉矩-轉速特征

將公式（4）左右兩端同時除以膨脹機角速度ω，可得郎肯循環下膨脹機轉矩-轉速特征方程，即：

上式是關于轉速的單調下降的線性關系，與文獻[8]實測的轉矩-轉速呈非線性關系有明顯不同，表明上式不適用于由滑片式膨脹機構成的郎肯循環系統，即：在以滑片式膨脹機構成的郎肯循環系統中，膨脹機動力矩方程缺少能夠反映出文獻[8]中力矩與轉速呈非線性關系特征的分項。

3 反映實測特性的滑片式膨脹機動力方程

以上分析表明，容積式膨脹機通用的轉矩方程和功率方程，之所以與滑片式膨脹機的實測特性曲線不一致，是因為存在缺項，而這些缺項與轉速存在緊密關聯。本節將引入膨脹機內部的泄漏流量，導出容積式膨脹機含有泄漏分項的一般形式，并證明該一般形式符合滑片式膨脹機實測特性曲線中的非線性基本特征。

3.1 包含泄漏分項的郎肯循環輸出功率

圖4所示為包含泄漏分項的朗肯循環系統膨脹機功率-轉速關系曲線。

由于公式（11）中的A、B是外部冷熱源溫差ΔT的正相關（單增）函數，因此當溫差ΔT變化時，輸出功率也發生相應變化，并且最大功率和最大功率對應的轉速都隨冷熱源溫差增加而增加。這個特性與文獻[8]觀測到的實測情況完全一致。

3.2 包含泄漏分項的郎肯循環系統膨脹機力矩方程

進一步分析公式（14）可知，由于AM和BM是冷熱源溫差ΔT的單增函數，因此轉矩最大值和最佳轉速nop都將隨冷熱源溫差增加而增加。這個特性與文獻[8]觀察到的實測曲線完全一致。

3.3 優化方程組的擴展應用

然而，由公式（11）可知，內部泄露只是使膨脹機的功率方程增加了δ和Vp相關的分項，并且這些分項與膨脹機的進出口壓力差和轉速相關。因此，采用固定的膨脹機綜合效率，進行朗肯循環系統的參數分析或者優化，將不能反映出不同工況對內部間隙泄漏和容積效率的影響，會出現較大的偏差。

此外，王偉[9]（單螺桿）、Huagen Wu[10]（雙螺桿）和顧偉[11]（渦旋式）所做其它種類膨脹機特性實驗也反映出相似的非線性特征，雖然分別表現出不同的走勢趨態，但表明：對不同類型的膨脹機而言，參數Vp、Vω的狀態不同，使實際實測成果處于公式（11）描述的不同段落。

4 結論與展望

本文推導的公式（11）和公式（14）呈現了郎肯循環下膨脹機輸出功率和轉矩與實測一致的非線性特征。這個非線性特征并非由于郎肯循環引起的，而是由于膨脹機內部間隙的泄漏以及泄漏工質的粘性作用產生的，反映了容積式膨脹機在泄漏工質粘滯性作用下的一般規律。因為膨脹機類型、尺寸不同，同時也包含工質流體的粘性系數不同，使內部間隙泄漏影響的程度存在差異，在圖4和圖5中表現出的線型也會有不同的變化，但其反映出的非線性和存在極大值的基本特征不會變。

以上關于郎肯循環下膨脹機輸出功率和轉矩的方程，是在沒有限定具體膨脹機類型的前提下，引入內部間隙泄漏的影響而導出的。而關于膨脹機內部間隙泄漏的影響，也只是采用不失一般性的表達式。因此，由公式（11）和公式（14）反映出的郎肯循環下膨脹機輸出功率和轉矩特征，適用于各種類型的容積或膨脹機。

進一步研究，應結合膨脹機具體機型和幾何尺寸，對內部間隙泄漏進行細化，采用仿真模擬，對比實驗數據驗證本文公式的精度。

參考文獻：

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