在變化與確定中感受思維的靈活

馮寅

數學問題中往往由許多不同的量構成，有些量是確定的，有些量是變化的，而確定與變化是相對的，可以互相的轉化.我們遇到的有些問題需要在變化中尋找不變量，有些問題需要在不變中發現變化的軌跡，在確定與變化的不斷轉換中，我們可以感受到思維的奇妙與靈活.

1在變化中尋找確定因素

有些數學問題中包含著許多不確定的因素，如圖形的不確定、位置的不確定、數量的不確定等等，但在這些不確定的因素背后往往隱含有一定的確定因子，如果我們能在不確定的因素中發現確定的因子，抓住問題的本質就一定能使問題有效的解決.

問題1如圖1，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°.沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是[CD#3].

分析此題是以三角形的翻折為素材設計的問題，圖形是不確定的.要研究直線AC與BD′所成角的變化規律，我們應該在圖形變化的過程中，首先尋找確定的因素，再利用這些確定因素來體現直線與直線所成角的變化規律.[TS（][JZ]圖2[TS）]

確定因素1從圖形的特點看，四邊形ABCD在沿直線AC的翻折過程中，點B，D在AC上的投影是不變的.

我們可以利用這個確定的因素，找到直線AC與BD′所成的角.

設D′E⊥AC于E，BF⊥AC于F，過E作EG∥BF且EG=BF，連結BG，BD′，GD′，那么∠GBD′是直線AC與BD′所成的角（如圖2）.

在Rt△BGD′中，cos∠GBD′=BGBD′，而BG=EF=63，

那么，當BD′最小時，cos∠GBD′最大.

在△BED′中，BE=302，D′E=306，則當D′落在平面ABC上時，BD′最短.

又因為，∠DAC=∠BAC，所以D′點在線段AB上，這時BD′=2.

因此，cos∠GBD′的最大值為66.

確定因素2從向量的角度思考，AC·BD′是確定的.

四邊形ABCD在沿直線AC的翻折過程中，點B，D在AC上的投影是不變的.記投影為E，F（如圖3）.

根據題意，EF=63，由數量積的幾何意義可得：AC·BD′=AC·EF=2.

設θ為直線AC與BD′所成的角，那么AC·BD′=AC·BD′·cosθ，

所以AC·BD′·cosθ=2，即6·BD′·cosθ=2，要使cosθ最大，只要BD′最小.

而當D′點在落在平面ABC上時，BD′最小.

因此，cosθ的最大值是66.

確定因素3從運動的觀點看，點D的軌跡是確定的.

四邊形ABCD在沿直線AC將△ACD翻折的過程中，點D的軌跡是以E為圓心，DE為半徑的圓.利用這一特點，可以有新的思路.

由題意，AC⊥圓E所在平面，作BB′⊥圓E所在平面.

直線AC與BD′所成的角就是直線BB′與BD′所成的角（如圖4）.

在Rt△BB′D′中，BB′=EF=63，

要使cos∠B′BD′最大，就是要B′D′最小.

因為點D′在圓E上，所以B′D′的最小值B′G=B′E-GE=303.

因此，cos∠B′BD′的最大值是66.

問題2如圖5，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是[CD#3].

分析和四面體的體積有關的問題，我們首先應該考慮四面體的底面和高是否有確定的因素.由于P，D是兩個動點，故四面體的四個面都無法確定，如何計算體積成為本題的關鍵.從題意中我們發現△PBD和△ABD的面積相等，那么量S△BCD+S△PBD是確定的.

確定因素S△BCD+S△PBD確定.

作PE⊥平面BCD于E，過E作EF⊥BD于F，連結PF，那么，PF⊥BD（如圖6）.

四面體PBCD體積VP-BCD=13S△BCD·PE≤13S△BCD·PF.

（當平面PCD⊥平面BCD時，等號成立）

又因為，S△PBD=12BD·PF，

所以，VP-BCD=23S△BCD·S△PBD·1BD.

因為S△BCD+S△PBD是定值，所以當S△BCD=S△PBD時，S△BCD·S△PBD最大，此時，D是AC中點.

當1BD最大時，BD⊥AC，而BA=BC，所以D也為AC中點.

因此，D是AC中點時，四面體PBCD體積最大，最大值12.

2在確定中感受變化特點

有些問題從表面看是確定的，但這樣的確定也是運動過程中的某一靜止時刻，因此分析運動的過程，理解運動的本質，可以使我們產生新思維來解決問題.

問題3如圖7，已知正四面體D-ABC，P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點，AP=PB，BQQC=CRRA=2.分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角為α，β，γ，則

A.γ<α<βB.α<γ<β

C.α<β<γD.β<γ<α

分析研究三個二面角的大小關系，我們先找到它們的平面角.過點D作底面ABC的垂線，垂足為O.已知D-ABC為正四面體，則O是正三角形ABC中心.根據線面垂直的性質，每個二面角的平面角所在的直角三角形都有相同的直角邊DO.那么，二面角的大小問題等價轉化為底面正三角形的中心到二面角棱的距離d1、d2、d3的大小問題（如圖8）.

因為P、Q、R都是正三角形ABC邊上確定的點，所以通過多種渠道都能計算并比較d1、d2、d3的大小.若我們以變化的觀點來分析這個問題，將確定的問題轉化為變化的問題，在變化過程中可以更清晰地判斷二面角的大小關系.

取邊AB上的點P1并滿足AP1P1B=2.根據題意△P1QR是正三角形，那么O到△P1QR三邊距離都等于d1.當點P1移動到P時（如圖8），點O到PQ的距離d3d1，那么d3

問題4如圖9，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點O.記I1=OA·OB，I2=OB·OC，I3=OC·OD，則

A.I1

C.I3

[TS（][JZ]圖10[TS）]

分析根據已知條件，這是一個確定的四邊形，我們可以通過向量的夾角和模，或利用坐標計算，或利用極化恒等式等多種渠道通過計算來比較向量數量積的大小.

我們也可以用變化的觀點來分析思考.在正方形ABCD1中，點D1變化到D（如圖10）.

因為∠AOB=∠COD>90°，∠BOC<90°，所以I1，I3<0，I2>0.

又因為OA

思考此題還可以進一步考慮，去掉條件AB⊥BC，此時四邊形ABCD不確定，那么I1，I2，I3的大小關系是否仍然確定？答案是肯定的.

如圖11，先研究α1，β1的大小關系，觀察△ABC和△ACD.因為AB=AD，AC=AC，BC

又因為α1=α+θ，β1=β+θ，所以α1<β1，

又α1+β1=180°，那么，α1<90°<β1.

再研究OB，OD的大小，觀察△ABD.AB=AD，α<β，

所以，OB

3在變化與確定中換位思考

在有些數學問題中，確定與變化是暫時的是可以互相轉化的，在相對的確定與變化中我們可以發現問題的特點，利用這樣的本質我們可靈活的解決問題.

問題5如圖12，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值[CD#3].（仰角θ為直線AP與平面ABC所成角）

[TS（][JZ]圖13[TS）]

分析此問題中已知點A是確定的，點P在射線CM上移動，要求直線AP與平面ABC所成角的正切值最大，即求直線AP與平面ABC所成角的最大值.

一般我們都會考慮如何確定這個線面角，根據已知條件，過P作PQ⊥BC，垂足為Q，則∠PAQ是直線AP與平面ABC所成角θ（如圖13）.

此時角θ處在一個不確定的△PQA中，我們可以設CQ=x，用x來表示tanθ，用函數的方法求出tanθ的最大值.

但是這可能不是題目的本意，其實問題的條件可以理解為在兩條確定的射線CM，CA上分別有兩點P，A，那么換位思考，若P確定，A的位置在哪里呢？

若P確定，那么PQ就確定，要∠PAQ最大，就是要PA最小，因此應該滿足PA⊥AC.現在點A的位置確定，那么點P的位置滿足PA⊥AC時，∠PAQ最大，計算得tanθ的最大值是539.[TS（][JZ]圖14[TS）]

問題6如圖14，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點.

（Ⅰ）證明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

分析此題是一個以四棱錐為載體的問題，它較好地糅合了空間線面的平行與垂直關系，方法多樣思維靈活，能有效地區分不同學習層次的學生.尤其是（Ⅱ）問求直線和平面所成的角，它要求學生要仔細分析圖形的特點，理解線面關系并能對線面角進行靈活的轉化.此圖若能從變化的角度來理解，對問題的解決也有很大的幫助.

四棱錐P-ABCD的形狀是確定的，它的兩個核心的面是ABCD和PAD，我們可以從變化的觀點來看，四棱錐P-ABCD由五邊形ABCDP沿AD折起，使得PC=AD.（如圖15、圖16）

[TS（][JZ]圖15圖16[TS）]

在五邊形ABCDP中，PB⊥AD于點M，且M是AD的中點.在翻折的過程中有許多確定的關系，∠PMB就是二面角P-AD-B的平面角，可得

∠PMB=120°.AD⊥平面PMB，因此，平面PMB⊥平面PBC.

求直線CE與平面PBC所成的角的關鍵是求出點E到平面PBC的距離.而點E到平面PBC的距離就是點M到平面PBC距離的12.由于平面PMB⊥平面PBC，所以就是求點M到PB的距離.

設CD=1，在△PCD中，求得CE=2；在△PMB中，求得MH=12.記直線CE與平面PBC所成的角為θ，那么sinθ=12MHCE=28.

從上面問題我們可以看出，確定是暫時的，變化是永恒，確定是變化過程中的某一時刻，當我們能看清問題的本質，在變化的過程中體會確定的意義，那么我們的思維水平就上了一個臺階.