2018年高考全國卷Ⅰ理科壓軸試題的解答及思考

李紅春　孔峰

高考一直肩負著服務選拔和導向教學的雙重功能，高考試題一直是人們熱議的話題，尤其是壓軸試題更是備受關注，本文談談2018年全國卷1理科壓軸試題的解法及思考，希望對大家的教學有所啟發.

1試題及解答

題目已知f（x）=1x-x+alnx.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明：f（x1）-f（x2）x1-x2

本題考查利用導數研究函數的單調性和不等式的證明，考查學生運算求解能力、推理論證能力，考查分類討論、數形結合、轉化化歸等數學思想.

解析（1）x∈0，+

SymboleB@ ，f′（x）=-x2+ax-1x2，設g（x）=-x2+ax-1，其Δ=a2-4，

討論當Δ≤0，即-2≤a≤2時，g（x）≤0恒成立，則f′（x）≤0，故f（x）在（0，+

SymboleB@ ）遞減；

當Δ>0，即a>2或a<-2時，由g（x）=0得x1=a-a2-42，x2=a+a2-42.

①若a>2，由x1+x2=a>0，x1·x=1>0知，x1，x2∈（0，+

SymboleB@ ），

當x∈（0，x1），f′（x）<0，f（x）遞減；當x∈（x1，x2），f′（x）>0，f（x）遞增；

當x∈（x2，+

SymboleB@ ）時，f′（x）<0，f（x）遞減；

②若a<-2，x1+x2=a<0，x1·x=1>0知，x1，x2∈（-

SymboleB@ ，0），

則x∈（0，+

SymboleB@ ），f′（x）<0，f（x）遞減；

綜上所述：a≤2時，f（x）在（0，+

SymboleB@ ）遞減；當a>2時，f（x）在（0，a-a2-42）遞減，在a-a2-42，a+a2-42遞增，在（a+a2-42，+

SymboleB@ ）遞減；

點評第（1）問關鍵之處在于分類討論標準的確定，難點在于結合韋達定理判斷出導函數的零點x1、x2的范圍，考查了分類討論、數形結合的思想.

本題關鍵在第（2）問，下面重點研究第（2）問的解答：

解法1重組換元

由（1）知，若f（x）存在兩個極值點x1，x2，則a>2，x1·x2=1，x1+x2=a，

f（x1）-f（x2）x1-x2=1x1-1x2-（x1-x2）+a（lnx1-lnx2）x1-x2=x2-x1x1x2+（x2-x1）+a（lnx1-lnx2）x1-x2=a（lnx1-lnx2）x1-x2-2.

故要證原不等式，只需證lnx1-lnx2x1-x2<1，

不妨設x1x1-x2，

由x1x2=1知，只需證：lnx1x2>x1-x2x1x2，即lnx1x2>x1x2-x2x1，設x1x2=t，t∈（0，1）.

則只需證：lnt2>t-1t，即2lnt-t+1t>0，設m（t）=2lnt-t+1t，t∈（0，1）.

則m′（t）=2t-1-1t2=-（t-1）2t2<0，故m（t）在t∈（0，1）遞減，所以m（t）>m（1）=0.

故原不等式成立.

解法2消元轉化

同上，要證原不等式，只需證lnx1-lnx2x1-x2<1，

不妨設x1

SymboleB@ ）及x1x2=1知x1∈（0，1），lnx1-lnx2x1-x2<1等價為lnx1-lnx2>x1-x2，則只需證：lnx1-ln1x1>x1-1x1，即2lnx1-x1+1x1>0.設m（t）=2lnt-t+1t，t∈（0，1），則m′（t）=2t-1-1t2=-（t-1）2t2<0，故m（t）在t∈（0，1）遞減，所以m（t）>m（1）=0，故原不等式成立.

解法3分散構造

不妨設x1>x2，則f（x1）-f（x2）x1-x2

f（x1）-（a-2）x1

即t（x）=1x-x+alnx-（a-2）x，t′（x）=-（a-1）x2+ax-1x2，

由f′（x）=0得-x2+ax-1=0，即ax-1=x2，故t′（x）=-（a-1）x2+x2x2=-a+2.

由a>2得t′（x）<0，故t（x）在（0，+

SymboleB@ ）遞減，由x1>x2知，t（x1）

點評對于多元不等式證明問題，重組換元、消元轉化和分散構造是三種基本方法.

2追本溯源

本題取材于對數平均值不等式：x1x2≤x1-x2lnx1-lnx2≤x1+x22，這個不等式有著豐富的幾何直觀：

圖1

一方面，如圖1，設點

M（x1，ex1）、N（x2，ex2）為函數y=ex上的兩點，ME、NF分別垂直于x軸于E、F兩點，點Q（x1+x22，ex1+x22）處的切線與ME、NF交于A、B兩點，S四邊形AEFB=（x2-x1）·ex1+x22，S曲邊形MEFN=∫x2x1exdx=ex2-ex1，顯然，

（x2-x1）e[SX（]x1+x2[]2[SX）]

即ex1+x22

即x1·x2

圖2

另一方面，如圖2，設點M（x1，1x1），N（x2，1x2）為函數y=1x上的兩點，

ME、NF分別垂直于x軸于E、F兩點，

曲線在點Q（x1+x22，2x1+x2）處的切線與ME、NF交于A、B兩點，S四邊形AEFB=（x2-x1）·2x1+x2，

S曲邊形MEFN=∫x2x11xdx=lnx2-lnx1，

如圖形可知：S四邊形AEFB

即x2-x1lnx2-lnx1≤x1+x22.②

結合①②對數不等式x1x2≤x2-x1lnx2-lnx1≤x1+x22成立.

對數平均值不等式：x1x2≤x1-x2lnx1-lnx2≤x1+x22，由x1x2=1，知

x1-x2lnx1-lnx2≥x1x2=1，掌握這個結論，求解何其簡單！

其實，對數平均值不等式是許多不等式的生成之源，可由y=lnx的單調性及上凸性質并借助拉格朗日中值定理或者直接構造函數證明，易得如下不等式關系：lnx>12（x-1x），x∈（0，1）；lnx<12（x-1x），x∈（1，+

SymboleB@ ）；lnx>2（x-1）x+1，x∈（1，+

SymboleB@ ）；lnx<2（x-1）x+1，x∈（0，1）；a-bab>0）.

另外，本題和2011年高考數學湖南卷文科壓軸試題極其相似：

設函數f（x）=x-1x-alnx（a∈[WTHZ]R[WTBX]），

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）有兩個極值點x1和x2，記過點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直線斜率為k，問是否存在a使得k=2-a？若存在，求a的值，若不存在，說明理由.

3解題感悟

3.1教學要立足基礎，遵循教育規律

作為壓軸試題，本題題干簡潔，問題樸實無華，難度不大，受到廣大師生的普遍歡迎.本題立足于培育學生支撐終身發展和適應時代要求的獨立思考和邏輯推理等關鍵能力，力求多考一點想，少考一點算，積極引導廣大教師，杜絕偏題、怪題和繁難試題，引導中學教學遵循教育規律、回歸課堂，用好教材，避免超綱學、超量學.

3.2數學教學要注重數學思想的滲透

數學思想方法是獲得數學知識的主要手段，具有很大的智力價值，掌握了數學思想方法，就能透徹地理解數學知識，有助于創造能力的培養.本題深度考查了分類討論、數形結合、等價轉化等數學思想，尤其第（1）問，結合二次函數的系數特征，從圖形出發，分析出導函數零點所在區間.

3.3數學解題要注重問題本質的揭示

本題依托對數平均值不等式命制而成，背景深刻.其實很多高考試題有著深刻的背景，不少都是從初等數學研究的成果中選取的素材，以此為基礎將其變抽象為具體，加工與調整形成，這是常見的一種命題途徑.在教學過程中，要揭去它們的“面紗”，揭示它們的背景及本質，這樣既能縮短解決同類問題的思維流程，更能激發學生的學習興趣，培養他們深入思考問題，鉆研問題的習慣.3.4復習備考要加強對高考試題的研究

高考試題是命題專家精心命制而成，設計新穎，構思巧妙，集中體現了命題專家的智慧，往屆高考試題一直是新高考試題的重要來源，命題專家一直重視傳承和相互借鑒，本題和湖南省高考試題相似度如此之高充分說明了這一點.作為教師要努力從歷年高考題的整體研究中找到共性，從近幾年高考題中找到高考的變化趨勢，從對同類試題的研究中找到變化，不斷提升復習效率.

作者簡介

李紅春，中學高級教師，武漢市高中命題庫核心成員.“全國數學聯賽優秀教練員”“武漢市優秀青年教師”、“武漢市優秀備課組長”，近5年在專業期刊上發表論文200余篇.

孔峰，中學數學特級教師，武漢市教科院數學教研員，長期致力于數學競賽自主招生試題的命制和研究.公開發表教育教學論文多篇，出版專著多部.