看透知識本質(zhì) 組織主題教學(xué)
——以函數(shù)的性質(zhì)為例

荊志強(qiáng)

(深圳市羅湖區(qū)教科院 廣東深圳 518000)

我們發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)上存在以下問題：第一，過于注重函數(shù)性質(zhì)的判定方法學(xué)習(xí)，忽視函數(shù)性質(zhì)的概念生成過程學(xué)習(xí)；第二，弱化乃至忽視了函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生學(xué)科思維方式的形成；第三，沒有從整體上建立對函數(shù)的不同性質(zhì)的一致性理解，而是孤立地看待函數(shù)的不同性質(zhì)。導(dǎo)致這些問題產(chǎn)生的主要原因在于：沒有完全從學(xué)科知識的本質(zhì)上認(rèn)識和理解函數(shù)的不同性質(zhì)。

以下我們將重點(diǎn)以函數(shù)的單調(diào)性為例，對函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)做一分析，以明確函數(shù)的性質(zhì)這一知識的本質(zhì)。函數(shù)的單調(diào)性主要學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)包括：

(1)給出學(xué)生在初中就已經(jīng)學(xué)習(xí)過的兩個函數(shù)：正比例函數(shù)y=x和二次函數(shù)y=x2的圖像。

(2)要求學(xué)生觀察函數(shù)y=x和y=x2的圖像有什么樣的特征。學(xué)生通過觀察函數(shù)圖像，應(yīng)該可以看出：函數(shù)y=x的圖像是上升的，函數(shù)y=x2的圖像在y軸的左側(cè)是下降的，在y軸的右側(cè)是上升的。)

(3)要求學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述他所發(fā)現(xiàn)的函數(shù)圖像的特征。(基于初中階段所學(xué)的函數(shù)知識，學(xué)生應(yīng)該可以這樣表述：對于函數(shù)y=x，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；對于函數(shù)y=x2，當(dāng)x∈(-∞,0)時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，當(dāng)x∈(0,+∞)時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大。)

(4)進(jìn)一步要求學(xué)生用數(shù)學(xué)符號表示他所發(fā)現(xiàn)的函數(shù)圖像的特征。其目標(biāo)是要求學(xué)生找到以下的符號表示：當(dāng)x1f(x2))來表示函數(shù)圖像“上升”和“下降”的特征。

當(dāng)然，這對學(xué)生來說是極具挑戰(zhàn)性的任務(wù)，但學(xué)生也正是在完成這項(xiàng)挑戰(zhàn)性任務(wù)的過程中，不僅收獲了數(shù)學(xué)的知識(知識與技能目標(biāo))，也學(xué)會了數(shù)學(xué)學(xué)科思維方式(過程與方法目標(biāo))，還產(chǎn)生了積極的情感體驗(yàn)、增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的自信心(情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo))。尤其后面兩者對學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其他性質(zhì)乃至其他知識至關(guān)重要。

至于如何引導(dǎo)學(xué)生找到函數(shù)單調(diào)性的代數(shù)表示，人教A版教材其實(shí)給我們提供了一個很好的思路，其編寫思路具體如下：

當(dāng)然，對于函數(shù)的單調(diào)性概念的學(xué)習(xí)，最大的認(rèn)知難點(diǎn)就是如何用數(shù)學(xué)符號表示函數(shù)的自變量和函數(shù)值的變化，反映到“形”上就是如何用數(shù)學(xué)符號描述和刻畫函數(shù)圖像的“上升”和“下降”的幾何特征。這個地方也給教師的教學(xué)設(shè)計(jì)留下了極大的創(chuàng)造性空間。

通過上述分析可以看出，對于函數(shù)的單調(diào)性概念的學(xué)習(xí)，其實(shí)質(zhì)并不是從函數(shù)的解析式f(x)出發(fā)，針對函數(shù)定義域上的某個特定區(qū)間找到了“當(dāng)x1f(x2))”，從而得出函數(shù)f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的結(jié)論，而是對函數(shù)圖像“上升”和“下降”的幾何特征去尋找代數(shù)表示！或者更形象地說，函數(shù)的單調(diào)性概念的學(xué)習(xí)走的并不是一條“捷徑”，而是一條“彎路”，我們可用下圖直觀表示：

基于函數(shù)單調(diào)性概念的本質(zhì)的理解，我們可知：函數(shù)奇偶性的概念的實(shí)質(zhì)是對函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱或關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的幾何特征尋找代數(shù)表示；函數(shù)周期性的概念的實(shí)質(zhì)是對函數(shù)圖像按一定規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)的幾何特征尋找代數(shù)表示；函數(shù)有界性的概念的實(shí)質(zhì)是對函數(shù)圖像永遠(yuǎn)無法越過平行于x軸的兩條直線的幾何特征尋找代數(shù)表示；函數(shù)凹凸性的概念的實(shí)質(zhì)是對函數(shù)圖像向上凸起和向下凸起的幾何特征尋找代數(shù)表示。我們可用表格表示如下：

函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)解析式函數(shù)圖像函數(shù)圖像的幾何特征函數(shù)圖像的幾何特征的代數(shù)表示奇偶性y=f(x) 函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱或關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱①f(-x)=f(x)②f(-x)=-f(x)周期性y=f(x)函數(shù)圖像按一定規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)f(x+T)=f(x)有界性y=f(x)函數(shù)圖像永遠(yuǎn)無法越過平行于x軸的兩條直線|f(x)|≤A(A>0)凹凸性y=f(x)函數(shù)圖像向上凸起和向下凸起①f(x1)+f(x2)2>fx1+x22()②f(x1)+f(x2)2

基于上述分析，我們可知，函數(shù)的不同性質(zhì)的教學(xué)可以采用相同的教學(xué)路徑，具體可用下圖表示：

通過上述分析可知，我們至少有以下幾點(diǎn)啟示：第一，雖然在不同的時間節(jié)點(diǎn)學(xué)生需學(xué)習(xí)函數(shù)不同的性質(zhì)，但這些不同的性質(zhì)有共同的本質(zhì)，即為函數(shù)圖像的幾何特征去尋找簡潔的代數(shù)刻畫；第二，既然函數(shù)的不同性質(zhì)的知識本質(zhì)相同，在教學(xué)設(shè)計(jì)時可以采用同一教學(xué)設(shè)計(jì)路徑；第三，函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)、學(xué)習(xí)難點(diǎn)應(yīng)主要是函數(shù)性質(zhì)的概念的形成過程，在函數(shù)概念形成的過程中，既對學(xué)生有極大的思維挑戰(zhàn)性，也正是學(xué)生形成學(xué)科思維方式的好時機(jī)；第四，在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)時，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在函數(shù)性質(zhì)的概念形成上，而不是函數(shù)性質(zhì)的概念的記憶和運(yùn)用。